高考数学压轴题类型点的探究与建议

高考数学压轴题是以“能力立意”为核心，以创新为目标的高考命题指导思想的体现，强调高中数学思想方法，学生的阅读能力及数学直觉能力，是整份试卷中区分度最强的题目，体现了高校对最优秀学生的选拔，一般命题在选择题最后一题、填空题最后一题和解答题倒数一、二题，本文就就近几年福建数学高考及省质检压轴题的类型进行归纳梳理。

1压轴题类型

1.1以探索性问题为背景的压轴题

例1.（2009福建质检理19）

已知椭圆C的离心率[e=32]，长轴的左右端点分别为[A1-2 ， 0]，[A22 ， 0]。

（Ⅰ）求椭圆C的方程;实测得分：3.92;难度系数：0.78

（Ⅱ）设直线[x=my+1]与椭圆C交于P、Q两点，直线[A1P]与[A2Q]交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论;若不是，请说明理由。实测得分：0.88 ;难度系数：0.11。

评析：本题（Ⅱ）可通过由特殊到一般的思想来探究定直线，从而达到降低问题的难度。

例2.（2010江西理数12）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为<D：＼123456＼速读・下旬201511＼速读排版11下打包10.11＼Image＼image9.pdf>，则导函数<D：＼123456＼速读・下旬201511＼速读排版11下打包10.11＼Image＼image10.pdf>的图像大致为

<D：＼123456＼速读・下旬201511＼速读排版11下打包10.11＼Image＼QQ截图20151009101212.png>

评析：本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C;总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B;考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。

例3.（福建2011理20）

如图甲，四棱锥[P-ABCD]中，[PA底面ABCD]，四边形[ABCD]中，[ABAD]，[AB+AD=4]，[CD=2]，[∠CDA=45°]。

（Ⅰ）求证：[平面PAB平面PAD];

（Ⅱ）设[AB=AP]。

（i）若直线[PB]与平面[PCD]所成的角为[30°]，求线段[AB]的长;

（ii）在线段[AD]上是否存在一个点[G]，使得点[G]到点[P，B，C，D]的距离都相等？说明理由。

1.2以类比为背景的压轴题

例4.（09年福建省数学科质检第15题）对于等差数列[an]有如下命题：“若[an]是等差数列，[a1=0，s]、[t]是互不相等的正整数，则有[（s-1）at-（t-1）as=0]”，类比此命题，给出等比数列[bn]相应的一个正确命题是：

评析：在等差数列[an]中，设公差为[d]，[a1=0，]则[as=（s-1）d]，[at=（t-1）d]，显然有[（s-1）at=（t-1）as]即[（s-1）at-（t-1）as=0]成立。在等比数列[bn]中，设公比为[q，][b1=1]，则[bs=qs-1，][bt=qt-1，]所以[（qs-1）t-1=（qt-1）s-1，]即[（bs）t-1（bt）s-1=1]（或写成[（bs）t-1-（bt）s-1=0]）

因此，给出等比数列[bn]相应的一个正确命题是：若[bn]是等比数列，[b1=1]，[s]、[t]是互不相等的正整数，则有[（bs）t-1（bt）s-1=1]。本题考查学生的联想类比能力及等差、等比数列性质的比较，对学生的思维能力有较高要求，有较强的区分度。

例5.（福建2009理10）函数[f（x）=ax2+bx+c（a≠0）]的图象关于直线[x=-b2a]对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程[mf（x）2+nf（x）+p=0]的解集都不可能是

A. [1，2] B [1，4] C [1，2，3，4] D [1，4，16，64]

评析：本题用特例法解决简洁快速，对方程[m[f（x）]2+nf（x）+P=0]中[m，n，p]分别赋值求出[f（x）]代入[f（x）=0]求出检验即得D，另外本题也可通过类比二次函数对称轴的特点求得。

例6.（2010福建理20）（Ⅰ）已知函数[f（x）=x3-x]，[其图象记为曲线C].

（i）求函数[f（x）]的单调区间;

（ii）证明：若对于任意非零实数[x1]，曲线C与其在点[P1（x1，f（x1））]处的切线交于另一点[P2（x2，f（x2））]，曲线C与其在点[P2]处的切线交于另一点[P3（x3，f（x3））]，线段[P1P2，P2P3]与曲线[C]所围成封闭图形的面积分别记为[S1，S2，]则[S1S2]为定值;

（Ⅱ）对于一般的三次函数[g（x）=ax3+bx2+cx+d（d≠0），]请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明.

评析：本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。

（Ⅰ）的（i）简单而常规，易得增区间为（[-∞，-33]）和（[33，+∞]），单调减区间为（[-33，33]）。

（ii）由于[s1，s2]均为曲边形面积，必须用定积分求解，所以由C在点[p1]的切线方程[y=（3x21-1）（x-x1）+x31-x1]，联立C的方程求得[p2（x2，f（x2））] ，[x2=-2x1]进而[s1=-2x1x1（x3-3x21x+2x31）dx=274x41]，用[x2]代替[x1]，重复上述计算过程，就得到[s2=274x42]，所以[s1s2=x41x42=116]。

（Ⅱ）注意到（Ⅰ）（ii）中条件非零[x1]意指[p1（x1，f（x1））]点不能取[f（x）]的对称中心（即拐点），故类比时也应不能取对称中心。

令[g″（x）=6ax+2b=0]，得[x0=-b3a]，故类比命题为：若对作意不等于[-b3a]的实数[x1]，曲线[C′]与其在点[p1（x1，g（x1））]处的切线交于另一点[p2（x2，g（x2））]，曲线[C′]与其在点P2处的切线交于另一点[p3（x3，g（x3））]，线段P1P2，P2P3与曲线[C′]所围成封闭图形的面积分别记为[s1，s2]，则[s1s2]为定值。

1.3以新定义为背景的压轴题

例7.（2011福建理15）设[V]是全体平面向量构成的集合，若映射[f：VR]满足：对任意向量[a=x1，y1∈V]，[b=x2，y2∈V]，以及任意[λ∈R]，均有

[fλa+1-λb=λfa+1-λfb]则称映射[f]具有性质[P].

先给出如下映射：

① [f1：VR，f1m=x-y，m=x，y∈V][];

② [f2：VR，f2m=x2+y，m=x，y∈V];

③ [f3：VR，f3m=x+y+1，m=x，y∈V].

其中，具有性质[P]的映射的序号为________.（写出所有具有性质[P]的映射的序号）.

评析：本题可通过运算求得，但要花费较多的时间，其实若平时在向量这章节有研究的话，则知其为线性运算易得答案①、③。

1.4以开放性试题为背景的压轴题

例8.（2009福建质检理20）已知函数[fx=ax+lnx ， a∈R].

（Ⅰ）求函数[fx]的极值;

（Ⅱ）对于曲线上的不同两点[P1x1 ， y1]，[P2x2 ， y2]，如果存在曲线上的点[Qx0 ， y0]，且[x1<x0<x2]，使得曲线在点[Q]处的切线[?]∥[P1P2]，则称[?]为弦[P1P2]的伴随切线。特别地，当[x0=λx1+1-λx2 0<λ<1]时，又称[?]为[P1P2]的λ-伴随切线。

（。┣笾ぃ呵线[y=f（x）]的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的;

（）是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有[12-]伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线 ，并证明你的结论; 若不存在 ，说明理由

评析：本题体现了结论开放、解法开放、设问形式多样性。同时本题也考查了学生对新定义的理解及综合问题的能力。

当然除以上之外还有以研究性学习为背景（如2011上海春季理21）、以抽象函数为背景、以高等数学为背景等类型，在此不一一加以论述。

2高考压轴题的备考建议

2.1强化阅读理解，考查学习潜能。如2010年福建理10。如果题目条件的涵义搞清楚了，问题显得十分简单。要重视合情推理及类别迁移能力的提升。

2.2.对基本函数与函数性质的复习要全面而突出重点。并注重横向联系。在复习中，应该全面夯实基础，突出对二次函数，分段函数，指、对数函数等几个基本函数的复习。强化解决函数问题的相关数学思想方法的训练。

2.3重视合情推理，培养学生的直觉思维。

2.4妙设问题情境，培养学生的探究意识。

2.5 设置问题的开放性、创新性。试题不断推陈出新，训练学生的创新思维;命题从形式到结构，从题设到结论形成开放，培养学生的开放性思维。