简析初中数学中的“最短距离问题”

摘 要：初中阶段我们经常遇到求“最短距离”的数学问题，很多学生对此类问题毫无头绪，遇到此类问题总是一头雾水、无从下手。其实这类题难度并不大，如果我们能掌握解决这类题的本质及方法，“最短距离”问题将迎刃而解。

关键词：最短距离；对称；平移；展开

初中数学中的“最短路线”问题其实是以“平面内连接两点的线中线段最短”（以下简称“两点之间，线段最短”）这一公理为原则引申出来的。我们在初中数学中常常遇到带有某种限制条件的最近路线（即最短路线问题），它的解决方法归根到底是利用相应方法进行转化，使问题能用“两点之间，线段最短”这一公理来解决，常用的方法主要是：对称及展开两种。下面我从这两方面就“最短距离”问题的解决谈谈我的看法。

一、利用对称解决“最短路线”问题

对称有一个重要性质，即“对应点连线段被对称轴垂直平分”，换句话说就是“对称轴是对应点连线段的垂直平分线”，而线段垂直平分线又有一个重要性质，即“线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等”，这就是说我们将一个点对称到对称轴的另一边，那么对称轴上的一点到这两个点的距离相等，我们可以利用这一性质来解决如“饮马问题”中的“最短距离”问题。

例1 （饮马问题）小明在B处放马，晚上回家，小明需要将马赶到河CD去饮水一次，再回家（A处），已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求小明行走的最短距离。

分析：本题要求的是小明行走的最短距离，而我们知道两点之间线段最短，但是本题中小明要到小河让马饮水一次，并不是求AB的距离。如果我们设饮水地点为P，所求的距离其实是AP+BP两线段长度之和。为了能应用“两点之间，线段最短”这一公理，我们利用对称的方法将A点对称到河的对岸，连接，这样即为所求，与CD的交点P即为马的饮水地点，如图再利用勾股定律可求出结果：

根据题目不难看出：三角形A′GB是一个直角三角形，且A′G=12，BG=3+2=5，根据勾股定律：A′B=13。

例2 A、B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸。请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A、B两个村子之间路程最短。

分析：因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，于是想到要把所求折线转化到同一条直线上。由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长也是定值。因此，从A点作河岸的垂线，并在垂线上取AC等于河宽（相当于把河宽EF平移到AC），就相当于把河宽预先扣除，找出B、C两点之间的最短路线，问题就可以解决。AC为定值，C到B的最短距离为C到B的连线段（两点之间，直线段最短），A到B的最短距离就是折线AC+CB的距离。

解：如上图，过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河宽，连结BC交河岸于E点，作EF垂直于河岸，交对岸于F点，E、F两点就是使两村行程最短的架桥地点。即两村的最短路程是AF+FE+EB（或者AC+CB）。

二、利用展开图求最短距离

如果已知的两点位于圆柱和圆锥面等立体图形上，那么所求的最短路线是曲线段；当曲面为可展开为平面的曲面时，例如圆柱侧面、圆锥侧面等时，将它们展开在一个平面上，最短路线则是连结两点的直线段。我们下面就研究一下可展开的曲面上的两点之间的最短距离。

例3 景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱体的制品嵌金线，如下图，如果将金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，如果AB长为10cm，底面周长为12cm，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少，最少是多少厘米？