探索 发现 提升

摘 要：习题是教材的重要组成部分，是学生进行有效学习的重要载体，对教材例题、习题进行探索和挖掘，既能疏通知识之间的联系，又对培养学生思维的创造性和深刻性有一定的促进作用．

关键词：课本题；内切圆；半径；勾股定理

课本例题、习题是教学资源的重要组成部分，对典型例题、习题进行适度的挖掘、加工、再生，实现资源功能的最大化，是教师的基本功，也是有效教学的重要途径之一． 正如著名数学教育家波利亚所说：没有任何一个题目是彻底完成的，总还会有些事情可以做，在经过充分研究和洞察以后，我们可以将任何解题方法加以改进，而且无论如何，我们总可以深化对答案的理解．

题目：如图1，在ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，它的内切圆O分别与边AB，BC，CA相切于点D，E，F，求O的内切圆半径r． （苏科版《数学》九年级（上册）第五章习题）

图1

这是安排在“切线长定理”后的一道配套练习，题目出示几分钟后，生甲给出了一种解法．

解：AB==10，连结OE，OF，易知四边形OECF为正方形，所以CE=CF=r，根据切线长定理得BD=BE=6－r，AD=AF=8－r，所以6－r+8－r=AB=10，解得r=2．

问题已经解决． 如果教师就此打住，那学生就失去了一次难得的数学发现之旅．

教师：如果直角三角形的三边为a，b，c（c为斜边），那么它的内切圆半径等于什么？

学生乙：根据生甲的解法可得a－r+b－r=c，所以它的内切圆半径r=（a+b－c）．

结论1：在ABC中，∠C=90°，它的内切圆半径r=（a+b－c）．

教师：由切线性质知过切点的三条半径分别与三边垂直，要利用三边长来求内切圆半径，你还能想到其他解法吗？

一石激起千层浪，课堂顿时被激活起来，学生们进入了紧张的思考，过几分钟后，生丙给出了第2种解法．

图2

解：AB==10，连结OE，OF，OD，AO，BO，CO，因为SAOB+SBOC+SAOC=SABC，所以×10r+×6r+×8r=×6×8，解得r=2．

教师：你能从这种解法归纳出一般结论吗？

学生丁：根据生丙的解法可得ar+br+cr=ab，所以它的内切圆半径r=．

结论2：在ABC中，∠C=90°，它的内切圆半径r=．

教师：上述两种解法得到两个结果，对比这两个结果，你又有什么发现？

学生戊：可得（a+b－c）=，即（a+b－c）（a+b+c）=2ab，也即（a+b）2－c2=2ab，所以a2+b2=c2．

教师：这正是勾股定理．可见在用不同解法求直角三角形的内切圆半径的过程中，我们得出了勾股定理的一种证法． 数学真的很神奇，只要我们用心去发现，一些看似无关的知识实际上是相通的，希望同学们在数学学习的过程中善于思考，不断有所发现，有所创新．

教学启示：数学课本里部分例题和习题，在解题思路和方法上具有典型性和代表性，在由知识转化为能力的过程中具有示范性和启发性，在编制考题时具有迁移性和再生性． 在日常教学中，教师要做有心人，选择一些典型问题，有的放矢地引导学生探究不同解法，或将结论推广，或将问题拓展延伸……，激发学生的探究欲望，坚持不懈，学生的数学能力定会潜移默化地得到提升．