探索勾股定理范文

探索勾股定理篇1

1本章内容概述

直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性质，有极其广泛的应用.平角的一半就是直角，空间中一条水平方向的直线和另一条铅垂方向的相交直线也相交成一个直角，直角是生产和生活中最常见的特殊角.勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用.勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基础，定理对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响.没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦.所以，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一.

本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理及其应用.

在第一节中，教科书安排了对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程.教科书首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定理的传说故事，并让学生也去观察同样的图案，以发现等腰直角三角形这种特殊直角三角形下的特殊面积关系.在进一步的“探究”中又让学生对某些直角三角形进行计算，计算以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积，发现以两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积.然后对更一般的结论提出了猜想.

历史上对勾股定理证明的研究很多，得到了很多证明方法.教科书正文中介绍了公元3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法.这是一种面积证法，依据是图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对图形面积的不同算法推出图形的性质.在教科书中，图17.1-6（1）中的图形经过切割拼接后得到图17.1-6（3）中的图形，证明了勾股定理.

根据勾股定理，已知两条直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长.根据勾股定理还可以得到a2=c2-b2，b2=c2-a2，由此可知，已知斜边和一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长.也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长.教科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定理解决问题，并运用定理证明了斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

在第二节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想：如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.教科书借助勾股定理和判定全等三角形的定理（SSS）证明了这个猜想，得到了勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种重要依据.教科书安排了两个例题，让学生学会运用这个定理.本节结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.为巩固这些内容，相应配备了一些练习和习题.

2编写时考虑的几个问题

2.1让学生经历勾股定理及其逆定理的探索过程

勾股定理及其逆定理都是初等数学中的重要定理，同时，这两个定理也都是多数初中学生在教师的精心引导下通过探索能够发现并证明的定理，教学中要重视这两个定理的教学，在教学过程中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得两个定理的证明.

教科书对勾股定理的教学，设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的过程.先是很特殊的等腰直角三角形，再到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的结论证明的赵爽证法的引入.这是一个典型的探索和证明的过程.类似地，对勾股定理的逆定理，教科书也设计了从特殊结论到一般结论的探索和证明的完整过程.

这样安排教学，有利于学生认识结论研究的必要性，培养学生对结论的探索兴趣和热情，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力和严密审慎的思考习惯.

2.2通过介绍我国古代研究勾股定理的成就培养民族自豪感

我国古代对数学有许多杰出的研究成果，许多成就为世界所瞩目和高度评价，在数学教学中应结合教学内容，适当介绍我国古代数学成就，培养学生爱国热情和民族自豪感.

我国古代对勾股定理的研究就是一个突出的例子.根据成书年代不晚于公元前2世纪西汉时期的《周髀算经》进行推算，有可能在公元前21世纪大禹治水时人们就会应用“勾三股四弦五”的特殊结论，公元前6、7世纪时人们还知道了勾股定理的一般结论并能灵活运用结论解决许多实际测量问题.约公元3世纪三国时期赵爽为《周髀算经》作注写《勾股圆方图注》，用“弦图”对勾股定理给出了一般的证明，这是我国对勾股定理一般结论的最早的证明.我国古代不仅较早独立地发现了勾股定理有关“勾三股四弦五”的一些特殊结论，而且也比较早使用了巧妙的方法独立证明了勾股定理一般结论，在勾股定理的应用方面也有许多深入的研究并达到熟练的程度.从《周髀算经》对勾股定理的多方面的论述，此书所记录的在公元前6、7世纪时在我国人们已经能够熟练且自信地把勾股定理应用到任意边长的直角三角形的事实，可以推测在比《周髀算经》成书早得多的时候，我国对勾股定理不仅知其然而且知其所以然，只是缺少文献明确记载对定理的论证.这些，都说明我国古代劳动人民的卓越聪明才智，也是我国对世界数学的重要贡献，是值得我们自豪的.

本章教科书结合教学内容介绍了我国古代对勾股定理的有关研究成果.在引言中介绍了现存的我国古代的数学著作中最早的著作《周髀算经》的记载“如果勾是三、股是四、那么弦是五”.勾股定理的证法很多，教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了赵爽的证法.首先介绍赵爽“弦图”，然后介绍赵爽利用弦图证明命题1的基本思路.这些内容表现了我国古代劳动人民对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.正因为此，赵爽“弦图”被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽.教科书还在习题中安排了我国古代数学著作《九章算术》中的问题，展现我国古代在勾股定理应用研究方面的成果.

课本习题是一种重要的教学资源。在总复习教学中，通过探索课本典型习题的知识生长点、能力发展点、思想方法蕴涵点，挖掘课本典型习题的潜在教学价值，有利于激发学习兴趣，提高复习教学效率；通过反思、拓展、应用，完成习题教学的第二次飞跃。培养学生探究质疑精神，提高创新意识和实践能力。下面就一课本习题教学进行的再认识和再设计问题予以探究.

题目现行华师大版9年级《数学》上第24章《图形的相似》复习题C组第20题：

（1）已知，如图1，MN是ABCD外的一条直线，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′为垂足，求证：AA′+CC′=BB′+DD′.

（2）若直线MN向上移动，使点C在直线一侧，A、B、D三点在直线另一侧（如图2），则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？先对结论进行猜想，然后加以证明.

图1图21质疑证法

华师大版配套教师用书提示：记O为ABCD两条对角线的交点，过O作OO′MN，垂足为O′。

（1）由梯形中位线定理，易证所需结论.

（2）由梯形中位线定理，可得BB′+DD′=2OO′；易可证AA′-CC′=2OO′，因而AA′=BB′+CC′+DD′.

根据提示，运用梯形中位线定理是关键，证明如下：

图3（1）证一：连结AC、BD交于O，过O作OO′MN，垂足为O′.

因为BO=OD，BB′∥OO′∥DD′，所以B′O′=O′D′。所以BB′+DD′=2OO′。同理AA′+CC′=2OO′。所以AA′+CC′=BB′+DD′.

证二：如图3，分别连结AC、BD交于P，过P作PHMN于H，连结C′P，并延长交A′A的延长线于W。因为BP=PD，BB′∥PH∥DD′，则B′H=D′H，所以PH是梯形BB′D′D的中位线。所以BB′+DD′=2PH.

又PCC′≌PAW，所以PC′=PW，CC′=AW，PH是WA′C′的中位线，所以WA′=2PH，所以AA′+CC′=2PH，所以AA′+CC′=BB′+DD′.

（2）猜想：AA′-CC′=BB′+DD′。证明（转化法）：如图2，在ABCD外，另作M1N1∥MN，分别延长AA′、BB′、CC′、DD′交M1N1于A1、B1、C1、D1。由（1）证得：AA1+CC1=BB1+DD1。所以AA′+A′A1+C′C1-CC′=BB′+B′B1+DD′+D′D1，由于A′A1=C′C1=B′B1=D′D1，所以AA′-CC′=BB′+DD′.

问题分析对（1）的两种证明，关键性依据是“过梯形一腰的中点且平行于两底的直线必平分另一腰”，然后利用中位线性质获证，证明看似顺畅简洁，但现行华师大版数学教材中始终没有这样的学习内容，造成推理无依据，难消学生心中的疑虑。证法二中用到的结论“过三角形一边的中点且平行于另一边的直线必平分第三边”可以在教材P67开头部分找到依据.

这些结论如果补证，会增加学生负担；如果直接告诉这个结论，会增加学生理解难度。其实，还有适合学生的其他证法.

图4改进证法（1）如图4，分别过C、D作CHBB′于H，DPAA′于P。因为BB′∥AA′，AD∥BC，所以∠HBC+∠ABC+∠BAP=∠ABC+∠BAP+∠PAD=180°，所以∠HBC=∠PAD。又AD=BC，∠BHC=∠APD=90°，所以BHC≌APD。所以BH=AP。即BB′-HB′=AA′-PA′，由HB′=CC′，PA′=DD′，可得AA′+CC′=BB′+DD′.

（2）可仿（1）证明.

2质疑猜想

问题（2），在不给学生任何提示的前提下，学生的思考几乎呈散放、无序的状态，又测量因误差，容易导致误猜，实践证明学生很难获得有效的猜想。中科院院士张景中认为，一个题目，光想不动手，往往不得其门而入，动手做，常会有启发，代数问题，把字母代成数试一试，几何问题，多画几个图看一看，这比你冥思苦想效果好得多，学生通过数学实验，动手算一算、画一画、量一量，手脑并用，获得直接的感性认识，能最大程度地发挥其主观能动性，有利于右脑的开发，并能由此引发奇思妙想，产生大胆的猜想和创新。正所谓“直觉的产生要以逻辑分析为‘前奏曲’”。由此可见，猜想不是凭空乱想。教学中要教给学生猜想的方法和猜想的途径。猜想的方法主要有：归纳、类比、合情推理。猜想的途径主要是：观察、实验、探索。教学改进设计如下：

（1）实践操作，感知确认。试一试，测量这些线段，通过计算，它们有什么的关系呢？有人测得BB′=0。2cm，AA′=1。1cm，CC′=0。5cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′+DD′=2（BB′+CC′）。还有BB′=0。25cm，AA′=1。1cm，CC′=0。55cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′=BB′+CC′+DD′。谁的猜想更合理呢？再画一个图形试一试，发现：AA′=BB′+CC′+DD′更合理.

（2）通过引入辅助元素，转化为熟悉的问题或已经解决了的问题，通过推理获得猜想.

3变式探究

变式1：如果再作如下移动又如何呢？若直线MN向上移动，使点C、D在直线一侧，A、B点在直线另一侧（如图5），则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？先对结论进行猜想，然后加以证明.

有上述经验，学生容易做出如下猜想：AA′-CC′=BB′-DD′.

探索勾股定理篇2

关键词：勾股定理数形结合探究性学习

一、背景

《数学课程标准》指出，“动手实践、自主探索、与合作学习是学生学习数学的重要方式,数学学习活动应当是一个生动活泼的主动的富有个性的过程。”笔者认为探究式学习是指在教学过程中以问题为载体，创设情境，让学生通过自主合作探索，体验知识的产生过程，学会学习，培养分析问题、解决问题的能力和创造能力，使学生在探索中体验数学的乐趣。

二、案例描述与分析

下面就一节示范课的亮点进行评析，这节课的内容为新浙教版八年级数学上册2.6节《探索勾股定理》的新授课。

亮点一创设情境，引入新课

师：出示情境：一次强台风中，一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？

生：感到困难，无法解决

师：在解决该问题时，你遇到了什么困难呢？（小组讨论）

生：直角三角形的两直角边分别为9米和12米，怎样求斜边长呢？

师：直角三角形两条边确定了，第三边也能确定，下面我们一起来探索直角三角形三边长度关系。（教师板书：勾股定理）

点评：勾股定理作为平面几何有关度量的最为基本的定理，源于实际问题解决的需要，因而，作为勾股定理学习的第一课时，也应选择某一现实的或数学的问题情境，揭示勾股定理学习的必要性。

亮点二探究活动紧密联系，层层递进

1、合作学习（模式：三人画图，一人填写）

师：①作三个直角三角形，使其两条直角边长分别为3cm和4cm，6cm和8cm，5cm和12cm；②分别测量这三个直角三角形斜边的长；③根据所测得的结果思考；

2、大胆猜想

师：观察以上数据，你发现了什么？

生：这三个直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方

师：板书：这三个直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方

师：如果将前面的“这三个”省略，即“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，这两句话含义一样吗？

生：不一样！前句指的是三个直角三角形，后句指的是所有的直角三角形

师：那第二句是否正确呢？我们一起来验证这个猜想

3、验证猜想（小组活动）

师：活动1：在图1中，直角三角形三边长的平方分别是多少？你是如何计算的？它们满足上面所猜想的数量关系吗？（多媒体出示）

学生展开了热烈地讨论，而后有学生开始举手，但不是很多。师请一不举手的学生回答！

生：直角三角形的三边长的平方分别为4、4、……?老师!AB的平方怎么求呢?

师：这位同学提了一个非常好的问题！哪些同学已经解决了呢？请提出你们的解决方案。

生：三角形三边的平方就是以AC、BC、AB为边长的正方形面积，可以数出正方形内小方格的个数，其中以AB为边长的正方形内有四个完整的小方格，其它刚好都是半个方格，可以拼凑出四个完整的小方格，所以三角形三边长的平方分别为4、4、8，因为4+4=8，所以满足上面所猜想的数量关系。

师：活动2：图2中的直角三角形是否也满足这样的关系呢？（多媒体出示）

生：开始很兴奋，后对求以AB为边的正方形的面积感到困难。

师：用刚才拼凑的方法解决很困难，是否有更好的方法呢？

有一生举手：可以把以AB为边的正方形分割成四个全等的直角三角形和一个边长为1的正方形（学生在讲时，教师利用实物投影演示，如图3，学生恍然大悟），所以三边的平方分别为9、16、25，因为9+16=25，所以图3的直角三角形也满足上述关系。

师：(非常欣赏的语气)：很有创意！我们就叫它分割法吧！那既然可以用“割”解决，是否也可以通过“补”来解决呢？又该怎样补呢？

生：可以在以AB为边的正方形的各边上补一个直角三角形得到一个大的正方形。（教师实物投影，如图4），所以以AB为边的正方形的面积为大正方形面积减去四个直角三角形的面积。得到的结论和上面一样。

师：同学们证明的这个猜想，我们把它称为勾股定理，在西方被成为毕达哥拉斯定理。

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种呢。

师：现在你能计算出旗杆折断前的高度吗？

生：踊跃举手……

点评：勾股定理是本节课教学的重点，故通过“小组合作学习――大胆尝试猜想――验证证明猜想――巩固新知”的流程使学生经历知识发生、形成和发展的过程。而勾股定理的证明采用了面积法：在教材中（新浙教版）让学生从事一定的图形拼摆活动（用一张纸剪出四个全等的直角三角形，试用他们拼出一个正方形，并计算这个正方形的面积，从中你能获得什么结论），从而发现勾股定理。此处怎样引导学生更为自然的去探究操作，更基于学生内在的需要呢？值的我们商榷。故笔者在此借助方格纸，充分利用了多媒体、实物投影，设置问题，分散难点，层层递进。

亮点三运用勾股定理构建直角三角形

师：在方格纸上作线段，如图，线段为几个单位长度？

生：经过探索，学生很快找到了满足a2+b2=c2的另两边长度，利用实物投影和大家一起交流。

师：如将方格纸简化成一条数轴，能否构造上述直角三角形？如何构造？任选一试试？

如果将方格纸上的单位长度放大至1cm，则上述直角三角形的三边长分别为多少？

你能用尺规直接构造出这些直角三角形吗？如何构造？选一个试一试；

学生在受了上面方格纸的启发下，兴奋而轻松地学会了在数轴上和利用尺规来构造直角三角形。

点评：利用勾股定理构造直角三角形，是本节课的又一难点，其实质是勾股定理的运用，一般把无理数看成斜边长，逆向思考后求得两条直角边的长，利用方格纸为平台突破难点，然后将平台简化成数轴，直至最后完全脱离平台，使学生很好的掌握了这一勾股定理的运用。

三、课后反思

1、有关探究式学习的流程

上面这个案例中，探究勾股定理课堂教学的流程为：提出探究课题――大胆尝试猜测结论――进一步巩固验证结论或者证明结论――巩固新知――小结新知，这样的流程设计是否能作为探究式学习的一般模式呢？这个问题值得探讨。

2、实践操作对引导学生的探究是有效的

在教学中，引导学生进行探究的方式、方法有很多，如用恰当的问题引导、提供有趣的教学素材等，而本节课巧妙地运用了“方格纸”的方式，一步一步地接近正确的答案；随着探究的深入，得出的结论一次次地被验证，有效地激励学生的好奇心。这样的探究是有价值的。教师在学生探究真知的过程中起到了一个组织者、促进者的作用，成为点燃学生探索欲望和智慧的火把。

3、给学生留足够的探索的时间和空间

真知的形成往往源于真实的自主探究，只有放开手脚，学生的潜力才能得以真正的发挥。在很多课堂中，“探究”只是流于形式，并没有达到真正的目的。而本节课教师充分调动学生的积极性，动手实践，参与讨论。如果这节课由教师或个别学生讲出勾股定理的公式，缺少学生的实际操作和探索，更多的学生无事可做，不观察，不思考，久而久之，就会养成被动地听教师讲、听同学讲，没有自己的思考和相互交流，这样无疑会与新课程所倡导的培养学生自主探究精神的理念背道而驰。

4、探索应是自然的、基于学生内在需要的

在探究性课堂上，课题的提出以及探究方案的设计应基于学生的内在需要，这样的探究性活动才是自主的，学生的学习才是主动的。否则，看似学生自己在探索，实际上，学生的探索却在教师预设的轨道上，这样的探索并非自主的，而实是教师的一种“牵引”，是一种改头换面的“提供”。在上面的案例中，笔者提供的直角三角形的边长都是特殊值，如三边依次为3、4、5（6、8、10或5、12、13等），问题是：学生不禁要问，这些数据从何而来？此处教师设计的是否应更为自然，使学生的探究紧密联系，层层推进？值得我们反思和商榷。

5、探究需要从合情走向相对逻辑性

新课程加强了合情推理能力的培养，但同时也不能忽视逻辑推理的作用。在上面的教学设计中活动1是合情的，或然的，只是利用特殊数据对上面猜想结果的一个验证，不能说明一般情形的正确性；因此，有必要进一步开展活动2和活动3，对更一般的情况进行说理，让学生相信结论是符合逻辑的、严密的、正确的、可靠的。当然，这里的逻辑、严密是相对的，如活动3中并没有要求学生严格地证明所拼出的图形是正方形，因而结论也不是绝对严密的。笔者认为，在教学过程中，一个结论的逻辑性、严密性，并非数学科学层面上的逻辑性、严密性，而应基于课堂的教学目标和学生的实际感受。如果学生对这个结论及其探究过程深信不疑，对学生而言，该结论就是逻辑的、严密的。

探索勾股定理篇3

1 过程教学的内涵

过程教学是基础教育课程改革的一个关键词,不同学者从不同角度探讨了对过程教学的认识.有学者从知识发生的角度探讨过程教学[1],有学者从科学研究的视角分析过程教学[2],还有学者将教学本身作为过程,剖析教的过程、学的过程以及教学活动的过程[3],等等.这些阐述虽有差异,但都有助于人们对过程教学的认识.我们认为,理解过程教学的核心在于对“过程”内涵的把握,“过程”的内涵至少包含以下几点:

1.1 过程教学中的“过程”是数学知识生成的过程,即数学发生、发展乃至应用的过程,因此,过程教学就是再现人类的发现过程,通过揭示数学问题产生的过程、暴露概念的形成过程、展现公式的发现推导过程、尝试定理的猜想过程、明确数学问题解决的过程等,引导学生经历知识生成的过程,体验知识“再创造”的过程,使学生了解知识的来龙去脉,更深刻地理解知识的本质,更灵活地运用知识.值得说明的是,这种知识的再创造不是数学家发现知识的全过程,而是在课堂意义下经过重组和改造的知识的类发现过程[4].1.2 过程教学中的“过程”是思维发展的过程,即学生数学思维不断发展和完善的过程,因此,过程教学就是再现人类研究问题的思维过程,通过暴露数学家的思维活动过程,暴露教师由“失败”走向“成功”的过程,揭示人类思考问题的方式方法,使学生学会自己探索,自己发现,乃至自己创造数学,促进学生数学思维的发展.1.3 过程教学中的“过程”不仅是手段,也是教学目标,即必须让学生在数学学习活动中去“经历……过程”.如果仅仅注重在知识的形成过程中学习知识,那么对“过程”的定位主要是服务于知识的学习,难免会出现教师直接讲授“探索过程”的现象,这样,数学学习就会由听“结果”变成了听“过程”,这样的“过程”就失去了探索的意义[5].

可见,实施过程教学要再现人类发现知识的过程,再现人类研究问题的思维过程,同时将“经历……过程”作为教学目标.通过引导学生经历知识发生、发展的过程,激发学生积极主动地参与思维活动,感悟数学活动中的思维过程和思维方法,使学生内化发现知识、建构知识和运用知识的思维和方法,从而获得知识,发展数学思维能力.

就定理教学而言.华罗庚曾说过“难处不在于有了定理、公式去证明,而在于没有定理之前,怎样去找出来”.因此,定理教学应该注重过程教学,将过程教学的思想贯穿于定理教学的各个环节,引导学生经历定理的发现、探究和获得过程,揭示定理的来龙去脉,阐明定理所蕴含的数学思想方法,促进学生数学思维的发展.从教学环节上看,定理的过程教学要注意以下几点:

(1)定理的导入环节是过程教学的起点,其主要目的在于揭示知识发生的背景,引发学生认知上的冲突,激起学生探究和学习的欲望.在教学设计时可以创设新颖有趣又有一定难度的问题情境(现实情境或者数学情境),也可以从定理的历史背景介绍入手.针对不同的定理教学应该采用不同的导入方式.

(2)定理的建构环节是过程教学的重点和难点,它是知识形成发展的过程.一方面,教师应该引导学生开展观察、实验、归纳、概括、推理、交流等数学活动,向学生揭示从具体到抽象、从特殊到一般认识事物的方法;另一方面,也要提供给学生自主探索和合作交流的时间和空间,让学生在独立思考、相互协作的基础上不断探索与创造,使他们真正经历知识形成的过程和思维发展的过程.

(3)定理的运用环节是过程教学的深化,它是知识发展的导向.过程教学不仅关注过程,也关注结果,过程和结果是紧密联系在一起的[6].通过定理的运用,可以使学生进一步理解定理的本质,规范定理使用的条件和范围,巩固所学的定理知识和思维方法,加强学生的应用意识.

在此意义下,我们来分析勾股定理的教学.

2 过程教学视角下的勾股定理的教学过程

2.1 教学过程

以下是两位教师执教“勾股定理”的教学过程.

(1)定理导入

教师甲:教师通过课本上一张纪念毕达哥拉斯学派的邮票,从数学史的角度引入勾股定理.

教师乙:给出问题“如果一个直角三角形的两条边分别是6和8,能否求出第三边.如果能,是多少?”,指出通过学习勾股定理可以解决这个问题.

(2)定理建构

教师甲主要有三个建构过程:

①探索特殊情形:两直角边长都是正整数的格点直角三角形

数学实验室1:请看格点图形,每个小方格的面积看作1,那么以BC为一边的正方形的面积是9,以AC为一边的正方形的面积是16.你能计算出以AB为一边的正方形的面积吗?请通过作图说明你的理由.

数学实验室2:在下面的方格图形中,请任意画一个顶点都在格点上的直角三角形;并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形,仿照上面的方法计算以斜边为一边的正方形的面积.

学生自己探究,通过割或补的方法,求出斜边为边长的正方形的面积.

②由特殊到一般形成猜想:借助几何画板进行探索验证

如果直角边和斜边都不是正整数是否具备上述性质呢?教师借助几何画板动态演示,由特殊到一般,猜测直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

③论证猜想

探索题:美国总统加菲尔德的证明方法.

教学中以填空题的形式对勾股定理进行推理说明,完成对勾股定理的证明.

教师乙主要有两个建构过程:

①感知特殊情形:剪拼等腰直角三角形

操作题1:分别以等腰直角三角形的三边向外做正方形;然后将两个较小的正方形剪下来,再分别沿着两个小正方形的对角线剪裁;最后将剪裁后的四个图形拼接到大正方形上,说明你的发现.

学生经过操作,发现两个小正方形面积之和等于大正方形面积.

②由特殊到一般形成猜想:由等腰直角三角形推广到一般直角三角形

操作题2:网格中的直角三角形直角边长分别为3、4,分别以直角三角形的三边向外做正方形,看看在等腰直角三角形中发现的面积关系在非等腰直角三角形中是否仍然成立?

学生操作,得出结论:在一般的直角三角形中上述结论也成立.

教师由正方形面积和边长的关系,得出勾股定理.

(3)定理运用

教师甲:

例题:在RtABC中,∠C=90°,(1)AC=5,BC=12,求AB的长;(2)AB=25,AC=24,求BC的长;(3)AB=8,BC=4,求AC的长.

练习:学生练习课本上的习题.

教师乙:

例题:解决上课开始提出的数学问题.

练习:学生口答课本上练习题.

2.2 分析与思考

(1)关于勾股定理的导入教学

教师甲从数学史导入勾股定理,突出了勾股定理的历史背景介绍,强调了数学的文化价值,让学生感受到数学的魅力,从而激发学生学习的欲望;教师乙从一个实际的数学计算问题导入勾股定理,也能够引起学生的认知冲突.总之,两位老师的导入都引发了学生的求知欲望,为勾股定理的探究和形成做了铺垫.

(2)关于勾股定理的建构教学

教师甲的建构过程主要有以下特点:向学生展示了知识发生、发展的过程,揭示了从具体到抽象,从特殊到一般的认识规律;让学生经历了观察、实验、猜想、证明的过程,知识发生、发展的脉络清晰,逻辑严谨;总结学生思维过程中的亮点,强调了数学活动中割补的思想;考虑学生的可接受性,将单纯的证明改为填空证明,既论证了勾股定理,突出了数学学科的特点,又降低了证明难度,利于学生理解接受,有利于培养学生的逻辑思维能力.但是整个建构过程在教师的严格掌控下,学生虽然自己经历了探究过程,但是在教师的牵引下发现问题、论证定理,学生独立思考的空间和时间都较少,过程教学中学生的主体地位体现不明显,“过程”本身的探索意义不突出.

教师乙的建构过程由两次学生的自主活动组织起来,充分体现了新课改的理念“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”.

教师乙营造了轻松自由的课堂气氛,给学生自主探索和合作交流的机会,鼓励学生自己发现规律和问题解决的途径,从而经历知识形成的过程和思维发展的过程.但是数学不同于实验科学,仅有操作是不够的,恰当的推理或者说理对于认识数学本质至关重要,同时揭示数学的思想方法才能更好地理解知识.因此,教师乙的教学注重了数学经验性的一面,没有全面揭示数学定理形成的过程,对一些重要的思维方法未做点拨和总结,使部分学生流于活动的形式,对知识本身缺乏深刻理解.

(3)关于勾股定理的运用教学

教师甲在勾股定理的运用环节讲解了一道例题,先由学生板演,教师订正并讲解运用勾股定理解题时的规范,使学生进一步理解了勾股定理的本质;通过课本上的练习题,学生能够进一步巩固勾股定理.

教师乙首先解决了教学引入时提出的问题,体现了教学内容前后的呼应,也是对勾股定理直接简单的应用,其后进行的数学练习题也是勾股定理在数学问题上的简单直接的应用,能够使学生进一步巩固掌握勾股定理.

新一轮数学课程标准指出:“要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系,也要注重与日常生活的联系,以及数学与其他学科的联系”,因此,如果能够在教学中布置一些课后思考题(由于教学时间有限不能在课堂上讲解相关例题),揭示勾股定理在现实生活或者在其它学科中的运用,那么勾股定理的教育价值会更加突出.

3 总结与反思

这两位老师都打破了过去数学定理的授课方式:直接就定理展开证明和推导,把定理当成纯粹的数学逻辑,把大量的时间花在学生做练习上.他们都注重了合情推理在形成猜想中的重要作用,强调了学生的自主探索,展示了知识的发生、发展过程和思维过程,体现了“过程教学”的基本理念.但是其中所暴露出来或者所隐含的问题需要引起我们重视,处理好以下关系才能更好地实施“过程教学”.

3.1 教师与学生

过程教学的主体是教师和学生.教师要为学生创设展现思维的信息条件、问题情景;激发学生思维,调动学生参与教学活动;点拨、引导、升华学生的思维;在总体上把握教学目标,克服随意性.同时教师要给学生更多思考空间和活动余地,启发学生讨论、思考,但不是启发学生落入老师设置的思维框框中,不能限制、扼杀学生的思维火花.教师真正把“过程”本身作为教学目标,学生的主体地位就会真正得以体现.

3.2 操作活动与数学思维

新一轮数学课程改革突出强调了学生的主动探索与动手实践,贯彻过程教学理念的数学课堂更加强调学生动手操作.但是数学活动的本质是数学思维活动,虽然数学在创造过程中像一门试验性的归纳科学,但数学毕竟不同于实验科学,推理与证明是数学的本质特征.因此,如果课堂教学仅仅仅停留于实践操作的外部活动,缺乏对深层次问题的思考:为什么要如此操作、操作过程中体现哪些思维方法,就不能使学生真正感受过程对数学思维的启迪,不易实现外在的操作活动到内在的思维活动的内化,影响了对数学本质的理解.

3.3 过程与结果

尽管过程教学的“过程”是教学目标,但过程教学也是为了更好地理解、掌握、获取“结果”,因此在强调过程教学的同时,更重要的是树立过程与结果并重的观念,即数学教学应该把重视教学结果和重视教学过程统一起来.Howson和Wilson曾指出:“传统上数学教育集中注意使学生获得技能和技巧(结果).如今,我们已看到,更多是强调过程,压倒一切的目标仍然是让学生参加各种类型的数学活动.”但“过程只能通过内容来传授”.对于“我们要学生学些什么?”的问题,Howson和Wilson指出:“应当既考虑‘结果’又考虑‘过程’”[7].只有数学教学保持过程与结果的平衡,才能真正展现数学的本来面目,还数学以生动活泼的形象,也才能使学生更好地热爱数学,理解数学,掌握数学.

参考文献

[1][4] 裴光勇,陈佑清.知识发生过程教学的内涵和价值.中国教育学刊,2001(1).

[2] 潘廷宏.过程教学的研究和实施.中学化学教学参考,2004,(10).

[3] 刘莉,胡仪元.过程教学构想.中国成人教育,2007,(1).

[5] 数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准(实验)解读.南京:江苏教育出版社,2004∶176.

[6] 吴晓红,戴平波.过程教学与结果教学探析.徐州师范大学学报(自然科学版),2002,(3).

[7] 张奠宙,丁尔升,李秉彝,等.国际展望:九十年代的数学教育.上海:上海教育出版社,1990∶85-120.

作者简介

探索勾股定理篇4

【关键词】数学史；勾股定理历史；融入；教学策略

1.勾股定理历史融入教学的意义

1.1 有利于激发兴趣，培养探索精神

勾股定理的证明是一个难点.在数学教学中适时引入数学史中引人入胜和富有启发意义的历史话题或趣闻轶事，消除学生对数学的恐惧感，可使学生明白数学并不是一门枯燥无味的学科，而是一门不断发展的生动有趣的学科，从而激发起学生学习数学的兴趣.

1.2 有利于培养人文精神，加强历史熏陶

学习数学史可以对学生进行爱国主义教育.浙教版新教材对我国勾股定理数学史提得很少，其实中国古代数学家对于勾股定理发现和证明在世界数学史上具有独特的贡献和地位，尤其是其中体现出来的数形结合思想更具有重大意义。

2.勾股定理历史融入教学的策略

在勾股定理教学的过程中，要求我们在教学活动中，注意结合教学实际和学生的经验，依据一定的目的，对勾股定理历史资源进行有效的选择、组合、改造与创造性的加工，使学生容易接受、乐于接受，并能从中得到启发.在实践过程中，发现以下几种途径与方法是颇为适宜的.

2.1在情景创设中融入勾股定理历史

建构主义的学习理论强调情景创设要尽可能的真实，数学史总归是真实的.情景创设可以充分考虑数学知识产生的背景和发展历史，以数学史作为素材创设问题情景，不仅有助于数学知识的学习，也是对学生的一种文化熏陶.

案例1：

师：同学们知道勾股定理吗？

生：勾股定理？地球人都知道！（众笑）

师：要我说，如果有外星人，也许外星人也知道.大家知道世界上许多科学家都在探寻其他星球上的生命，为此向宇宙发射了许多信号：如语言、声音、各种图形等.我国数学家华罗庚曾经建议向宇宙发射勾股定理的图形，并说：如果宇宙人是文明人，他们一定会认识这种“语言”的.（投影显示勾股图）

可以说，禹是世界上有文字记载的第一位与勾股定理有关的人.中国古代数学著作《周髀算经》中记载有商高这样的话：……我们做成一个直角三角形，这形亦称曰[勾股形].它的距边名叫[勾]，长度为三；另一边名叫[股]，长度为四；斜边名叫[弦]，长度为五.勾股弦三边，若各自乘，我们就可由其中任何两边以求出第三边的长……

《周髀算经》卷上还记载西周开国时期周公与商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三，股修四，经偶五”，这是勾股定理的特例.卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并儿开方除之，得邪至日.”

由此看来，《周髀算经》中已经利用了勾股定理来量地测天.勾股定理又叫做“商高定理”.毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年.希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了.

2.2在定理证明中融入勾股定理历史

数学史不仅给出了确定的知识，还可以给出知识的创造过程，对这种过程的再现，不仅能使学生体会到数学家的思维过程，还可以形成探索与研究的课堂气氛，使得课堂教学不再是单纯地传授知识的过程.

案例2.：

刘徽（公元263年左右）的证明：

刘徽用了巧妙的“出入相补”原理证明了勾股定理，“出入相补”见于刘徽为《九章算术》勾股数──“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”所作的注：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也.”如何将勾方与股方出入相补成弦方，刘徽未具体提示，学界比较常见的推测是如下图.

③剪拼法（学生动手验证）

证明方法之特征：数形结合证法，建立在一种不证自明、形象直观的原理上，主要是用拼图的方法证明，使数学问题趣味化.

翻开古今的数学史，不仅勾股定理的历史深厚幽远，所有的数学知识都蕴涵着曲折的道路、闪光的思想、成功的喜悦和失败的教训.将数学史的知识融入数学教学中，发挥数学史料的功能，是数学教育改革的一项有力的措施.正象法国数学家包罗·朗之万所说：“在数学教学中，加入历史具有百利而无一弊.”

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准 （实验稿） 》[S] 北京：北京师范大学出版社

[2]袁银宗.对数学史及其教学的思考与实验[J] .中学数学教学参考（初中）

探索勾股定理篇5

【关键词】 数学活动；动手操作；合作交流；数形结合

教材简介：

本课教材选自苏科版《数学综合与实践活动（八上）》初中数学教材中勾股定理与平方根一节。

教材分析：

勾股定理是初中数学教学中一个非常重要的定理，之前学生们运用方格纸，通过计算面积的方法探索了勾股定理。本课不只要求学生掌握验证方法，更重要的是通过丰富有趣的拼图活动，通过教师的指导、同伴的合作和学生亲自动手剪纸、拼图、验证等一系列数学活动，体会数形结合的思想，体会勾股定理的数学价值和文化价值。

教学目标：

1.经历综合运用已有知识解决问题的过程，在此过程中加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。

2.经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。

3.通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。通过丰富有趣的拼图活动增强学生对数学学习的兴趣。

教学重点难点：

重点：通过拼图验证勾股定理及勾股定理的应用过程，使学生获得一些研究问题与合作交流的方法经验。

难点：利用数形结合的方法验证勾股定理。

教学方法：

引导、操作、合作、探究，多媒体辅助教学

教学过程：

本节课主要是通过几个活动让学生体验并探究勾股定理的一些验证方法，首先通过情景创设激发学生探究的激情。

情境创设：

1.你知道勾股定理的内容吗？说说看。

画直角三角形并写出勾股定理的表达式。

2.你知道关于勾股定理的哪些历史故事？你知道勾股定理的来历和有多少种证法吗？

课件展示毕达哥拉斯的雕像图片和地砖图片，讲述毕达哥拉斯发现勾股定理的故事。

3.前面我们运用方格纸，通过计算面积的方法探索了勾股定

理。今天我们再来探究勾股定理的其他验证方法。

活动一：

活动准备：用硬纸板各剪4个完全相同的直角三角形（不妨设两直角边分别为a、b，且a≤b，斜边为c），再剪2个边长分别为c和（b-a）的正方形。

活动要求：你能选用这些中的部分图形拼成一个大正方形吗？

你能用拼成的图形验证勾股定理吗？

学生小组合作交流探究并展示。（了解学生拼图的情况及利用自己的拼图验证勾股定理的情况。教师在巡视过程中，相机指导，并让学生展示自己的拼图及让学生讲解验证勾股定理的方法，并根据不同学生的不同状况给予适当的引导，引导学生整理结论。）

通过对弦图的分析，得到面积的关系

c2=（b－a）2＋4ab 化简得：a2+b2=c2

课件介绍三国时期东吴人赵爽的“勾股圆方图”，也称为“弦图”，并出示赵爽弦图和世界数学家大会会标。

活动二：

四个直角三角形还可以怎么摆成正方形呢？

学生先独立探究，再小组活动交流，并上黑板展示拼图方法和验证：由面积关系得到：（a+b）2＝c2＋4× ab，化简得：a2+b2=c2。

活动三：

你能用两个直角边分别为a、b，且a≤b，斜边为c的直角三角形和一个直角边为c的等腰直角三角形拼图并验证勾股定理吗？

如图：两个全等的直角三角形ABC和BEF的三边长分别为a、

b、c可得面积关系 （a+b）2＝ c2＋2× ab

化简得：a2+b2=c2

课件介绍：“总统证法”――美国第二十任总统伽菲尔德。

活动总结交流：活动二和活动三的证法其实完全相同。

课件展示与欣赏毕达哥拉斯证法和印度婆什迦罗的证明，并让学生展示课前查找资料了解到的证明方法。

活动四：制作五巧板验证勾股定理。

步骤：

1.做一个RtABC，以斜边AB为边向内做正方形ABDE，并在正方形内画图，使DFBI，CG=BC，HGAC，这样就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。

沿这些线剪开，就得了一幅五巧板。

2.取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以C为边长的正方

形，将另外一幅五巧板拼成两个边长分别为a、b的正方形，你能拼出来吗？（给学生充分的时间进行拼图、思考、交流经验，对于有困难的学生教师要给予适当引导。）

归纳小结，形成技能。今天这节课你有何收获？

（如验证勾股定理的方法、数形结合的数学思想、我国古代科学家的成就、合作交流的方法与经验………）

课后作业：

上网查找有关利用拼图来验证勾股定理证明的方法，每人至少能说出一种与本课提到的不一样的方法，若有好的方法可用小论文的形式写出来。

教学反思：

本课的教学设计中，让学生通过制作拼图，通过动手操作，合作交流，发现问题，让学习内容问题化，让教材成为学生核心学习活动鲜活的材料。

首先是用四个全等的直角三角形拼图验证，其实活动一和活动二学生在操作的时候并不一定按你所设计的顺序，学生可能先拼出赵爽弦图，也可能先拼出活动二中的大正方形，关键是让学生去操作、实践，去自主探究，教师要因势利导，及时让学生充分展示。这种没有限制的学习方式，会大大丰富了学生对于数学学习的兴趣。

探索勾股定理篇6

 

［关键词］　教学；勾股定理；设计；反思

教材简析

（使用教材：上海教育出版社出版九年义务教育课本数学（试用本）八年级第二学期）

勾股定理是平面几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在生产、生活实际中用途很大.　它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛应用.

 

勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值.　本节课是在学生已具备了直角三角形的有关知识，积累了一定的观察、操作等活动经验，具有一定的说理能力和初步推理能力的基础上学习的.　本节课可通过丰富的拼图实践活动，让学生经历验证勾股定理的过程，感受解决问题的方法的开放性，激发数学探究兴趣，享受数学思维的快乐，对培养学生良好的思维品质起重要作用.

 

设计理念

现代教学论认为数学课应该加强学生的数学活动，学生是活动的主人.　如果学生能在活动中把概念、定理、性质、公式等，通过自己的努力去发现和创造出来，这就是我们课堂教学中追求的最高境界，也是课程改革的迫切要求.　心理学家皮亚杰曾说过：“一切真理都要让学生自己去获取，由他重新发现，而不是草率地传授给他.　”

 

可是，长期以来，我们的数学课堂教学过于重视结论，而轻视了过程.　为了应付考试，为了使学生对公式、定理应用达到所谓的“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采用“题海战术”进行强化.　在数学概念、公式、定理的教学中往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用“程式”的解题机器，这样的学生面临新问题时就会束手无策.

 

数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体.　新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验.　我意识到：在数学教学中，要让“教”和“学”和谐统一，形成感性到理性的认知过程，促进学生的全面发展.　教师的“教”应体现在创设情境、激发兴趣、组织探索、引导发现上，学生的“学”则应体现在操作讨论、探究发现、归纳结论上.

 

基于以上认识，在设计本节课时，我所考虑的不是简单地告诉学生勾股定理的内容，而是创设一些数学情境，让学生自己去发现定理、证明定理.　从发现定理的过程中让学生体会到：定理并不是凭空产生的，发现定理并不都是高不可攀的事情，通过我们的努力，也可以做一些好似数学家才能完成的事.　在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到了充分发挥，能极大地激发他们的学习兴趣，提高他们提出问题、解决问题的能力，同时培养他们的创新能力，这正是新课程所倡导的教学理念.

 

教学目标

通过本节课的学习，力求达到：

1.　理解和掌握勾股定理的内容及简单的应用.

2.　通过学生的动手操作及探求勾股定理的发现、证明过程，初步体会用面积法解决几何问题的基本策略，了解从特殊到一般的推理方法及数形结合的数学思想方法，初步培养学生探究问题的能力，增强逻辑思维能力.

 

3.　通过介绍我国古代学者发现及应用勾股定理的成就，感受祖国文化的悠久，激发学生的民族自豪感和爱国热情.

4.　通过活动讨论，增强合作意识，初步培养探索的精神，并体验探索成功的乐趣.

教学重点、难点

重点：勾股定理的内容及简单的应用.  

难点：勾股定理的拼图证明.

教学过程

（一）创设情境？摇　导入新课

【电脑演示】

情境1？摇1995年希腊发行的一张邮票（图1）和icm2002年国际数学家大会会标（图2），并出示问题：为何以这个图案发行邮票？以这个图案作为会标？

情境2

学校操场上，呈现升旗仪式场面照片，最后定格在旗杆照片，并出示问题：如何测算出学校操场上旗杆的高？

【设计意图：设疑激趣，明确目标】

新课标强调数学应返璞归真.　在教学过程中，要贯彻“生活即数学，生活即教材”的理念.　从生活中引出问题，从问题中引出课题.　通过创设恰当的情境，培养学生用数学的意识，教会学生观察生活，领悟生活中的数学因素.

 

问题是思维的出发点，通过有意识地设置问题情境，提出思考要求，能激发学生强烈的好奇心和求知欲.

（二）师生互动？摇　探究新知

【电脑演示】

实验猜想：给出三个具体的直角三角形.？摇用一把尺度量各直角三角形的三边，得到下列数据：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17.？摇？摇

 

引导学生对数据进行分析，猜想三边关系.　由32+42=52，52+122=132，82+152=172的关系式，学生可能会得出：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.

 

进一步引导学生：由特殊到一般的推理只是一种猜想，是否正确还须通过证明.

提出问题：对于一般的直角三角形，是否都有a2+b2=c2（其中a，b为直角边，c为斜边）？

【设计意图：探索发现，揭示新知】

从具体的图形入手，通过测量出具体的数据，经过计算、观察，发现结论，进而提出猜想，这种处理方法，一方面，符合学生的认知规律和心理发展规律，另一方面，也符合知识的发生、发展规律，有利于让学生经历知识的形成过程，有利于加深学生对数学学习的体验.

1.？摇证法探究

给出一套拼板（如图3，四个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形）　，请学生从中选出几个，拼成组合图形，要求学生设法利用组合图形的面积来证明上述结论，即证明a2+b2=c2（其中a，b为直角边，c为斜边）.

 

采用小组合作探究的方式，给学生充分的时间进行拼图、思考、交流.　教师巡视，适时介入小组讨论.　当有小组找到解决方法后，请该组派一位同学代表上讲台，展示拼图方法，交流证法.　然后，教师借助电脑进行动态演示.　学生可能会通过以下几种组合图形的面积得到结论.

 

方法1

如图4，由afe≌deh推出∠afe=∠deh.　又因为∠afe+∠aef　=　90°，所以∠deh　+∠aef　=　90°.　于是可得∠feh　=　90°.　同理可得∠fgh　=∠ghe　=∠efg　=90°，所以s四边形efgh？摇=　c2.　而s正方形abcd=s四边形efgh+4saef，即（a+b）2=c2+4×ab，a2+2ab+b2=c2+2ab，所以a2+b2=c2.

 

方法2

与方法1的证法类似.　如图5，因为（b－a）2+4×ab=c2，即b2－2ab+a2+2ab=c2，所以b2+a2=c2.　（介绍赵爽弦图及“演段算法”）

 

方法3

如图6，因为（a+b）（a+b）=2×ab+c2，所以a2+2ab+b2=2ab+c2，即a2+b2=c2.　（介绍此证法与美国第二十任总统珈菲尔德的证法一致）

 

【设计意图：激活思维，加深体验】

《数学课程标准》指出：“数学教学活动必须向学生提供充分从事数学活动的机会.　”这就是指，学生在教师的引导下参与教学活动，体验、发现、归纳，即在教师的引导下发挥学生的主观能动性，体验数学的再创造过程.　这里设计拼图活动就是基于上述思考.

 

利用拼图证明勾股定理是一种开放性的探究活动，其起点低，层次多，目前已发现的证法有四百多种，学生易于下手，每个学生都有解决问题的机会，它促进学生智力因素与非智力因素的同步发展，激发学生的创造意识.

 

2.　定理推出

【板书勾股定理，介绍勾股定理，揭示课题引入时的问题】

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

【设计意图：数学文化，德育渗透】

我国古代的学者，对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理（比西方要早500多年），而且使用了许多巧妙的方法证明了它，尤其在勾股定理的应用方面，对其他国家数学的影响很大，这些都是我国人民对人类的重大贡献.　通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，有利于激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，有利于培养他们的民族自豪感，并激励学生奋发图强，努力学习.　寓思想教育于学科教学中，这也是新课程所追求的.

 

3.　简单应用

【电脑演示】

例1　在等腰三角形abc中，ab=ac=13　cm，bc=10　cm（如图7），求abc的面积　.

（教师板书解题过程，解题过程略）

例2？摇　有一旗杆，升旗用的绳子沿旗杆放下时，绳子下端有一部分在地面上，将地面上的这部分拉直后，量得绳子的下端点到旗杆底端的距离为0.2米，再将绳子拉直且下端点放在地上，此时量得绳子的下端点到旗杆底端的距离为2.2米.　问旗杆高度是多少？

 

【设计意图：内化新知，反馈调控】

这一环节是学生巩固知识、形成技能、发展智力的重要阶段.　例1是勾股定理的简单应用，通过例1的学习有利于学生加深对勾股定理的理解与掌握，强化基本技能，落实本节课的教学重点.　例2是一道实际素材背景的应用题，并与课题引入时的“情境2”首尾相顾，前后呼应，形成一个整体.　学生应用所学的知识，很快就能解决“课题引入”时的问题，不仅可以让学生经历勾股定理的应用过程，还可以让学生体验成功的喜悦，增强学习数学的愿望与信心.

 

（三）自主小结？摇　深化提高

【以学生为主，教师与学生一起进行归纳小结，同时，电脑演示四个“一”】

一个定理……

一次探索……？摇？摇

一个思想……？摇？摇

一份自豪……

【设计意图：回顾整理，总结提升】

小结是对一节课的回顾与整理，也是落实学生主体地位的一个重要环节.　在教师的引导下，可让学生自己进行总结或师生合作，体现教学的民主性.　这样，不仅有利于培养学生的归纳、概括能力，帮助学生理清知识脉络，将所学的知识纳入知识体系，形成良好的认知结构，深化本节课所学的内容，还有利于引导学生反思学习过程，认识自我、增强信心、巩固兴趣，让学生在愉悦的、学有收获的心境下结束本节课的学习.

 

（四）分层作业？摇　发展个性

必做题：教材p56练习1、2、3；练习册a册第23页　25.4（1）.

选做题：你能否将图8（两个正方形拼成的）剪两刀，拼成一个大正方形，使它的边长正好等于以a，b为直角边的直角三角形的斜边的长度？

【设计意图：学以致用，巩固提高】

通过作业，深化新知，可以检验学生掌握知识的情况，发现和弥补“教”与“学”中的遗憾与不足.　作业采取“必做题”与“选做题”的处理，为不同程度的学生提供了更为广阔的探求空间.　一方面，尊重了学生的个体差异，有利于满足学生多样化的学习需求，“让不同的人在数学上得到不同的发展”，充分落实因材施教的原则；另一方面，选做题具有前瞻性，可引导学生自学探究，将学习由课堂延续到课外.

设计说明

1．　本节课教学设计力求以学生发展为本，以探究活动为核心，师生转换角色，营造良好的学习氛围，培养学生的探索精神，充分调动学生的积极性.

2.　学起于思，思起于疑，无疑则无知.　教育家托尔斯泰说过：“成功的教学所需要的不是强制，而是唤起学生强烈的求知欲望，激发学习的兴趣”，因此，新课引入时，充分利用多媒体教学的直观性，创设问题情境，能引发学生的思考和探究热情，能自然导入新课.

 

3．　“平面几何在中学数学教学中的真正价值在于它的训练性，即教育学生探索几何事实的过程远比其获得的几何事实有价值得多.　”本节课从直角三角形三边关系的猜测，面积方法的证明，到勾股定理的应用，始终为学生提供自主、合作探究的平台，始终以激励学生自主探索为主，教师辅以适时的引导.　学生通过动手操作，探索解决问题的多种途径，能激发学习数学的兴趣，培养探索几何事实的能力.

 

4.　数学蕴藏着丰富的文化内涵.　本节课设计了数学家的介绍，力求挖掘数学的文化宝藏，学生在生动的爱国主义教育中提高了文化修养.？摇

5.　勾股定理的应用方面，本节课设计了两个例题.　一个是课本中的一个练习，让学生掌握简单的应用；另一个问题来源于学生熟悉的学校操场，是学生身边的问题，学习将实际问题转化为数学问题.　安排这两个例题可以有效地帮助学生巩固知识，培养学生学数学、爱数学、用数学的意识.

6.？摇教学流程：

教学思考

1.　数学教学过程是教师引导学生进行数学活动的过程

《数学课程标准》特别指出：“数学教学是数学活动的教学.　学生要在教师的指导下，积极主动地掌握数学知识、技能，发展能力，形成积极主动的学习态度，同时使身心获得健康.　”数学教学过程是数学活动的教学，主要体现在：首先，数学活动是学生通过实践、思考、探索、交流、掌握和运用数学知识的活动.　简单地说，整个教学过程应该充分发挥学生的动手、动脑进行数学思维.　为了使学生的数学活动能够顺利进行，教师要创设学习环境，为学生提供进行数学活动的机会，并在学习活动过程中给予适当地指导.　其次，数学活动是学生在教师引导下自我建构数学知识的活动，即在数学活动过程中，学生与教材、学生与教师之间产生交互作用，自我建构数学知识结构，形成技能和能力，发展情感态度和思维品质.　教师要意识到学生是数学知识主动探索的“建构者”，决不是被动的接受者.　教师教学工作的目的就是引导学生进行有效地建构数学知识的活动.

 

2.　数学知识的“过程教学”与“结论教学”相统一

《数学课程标准》把对知识的“过程教学”作为课程目标的重要组成部分，从而突出了数学知识探究过程教学的重要地位.　传统的数学教学只注重数学知识结论的教学，学生学到的是一些现成的数学概念、公式、法则，及一些枯燥的数学符号，而对这些概念、公式、法则等的形成过程却很少过问.　这种教学把数学知识形成的生动过程变成了呆板的知识记忆，一切都是现成的，它排斥了学生的思考和个性，这实际上是对学生智慧和思维个性的扼杀、压制.　当然，对数学知识结论的学习也是必要的，因为这些数学知识结论（概念、原理体系）表征了数学探索的结果，是学生进行数学思考以及学习更高一级知识的基础.　但数学教学更为关键的是使学生在掌握知识结论的过程中学会数学思维和数学思想，会用数学思想解决问题.　因而，数学课堂教学既要求注重知识结论，又要求重视知识的形成过程.　根据数学的特点，在教学中注重知识探究过程的教学有着很重要的教育价值.　不仅仅是因为数学概念、原理、公式等体系依赖于探究过程，更主要的是数学知识的探究过程体现了数学多样化的思维和认识方式，并且包含了一系列的质疑、判断、选择、比较、分析、综合、概括等多种认知活动.　学生正是在知识的学习过程中培养了运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，进而解决日常生活问题的能力，增强了运用数学的意识，了解了数学的价值，增强了学好数学的信心，也通过探索知识过程的经历和获得知识的体验，进一步培养了学生的数学解决能力和创新精神.　所以，在教学活动中应尽可能地为学生创造自主探索的机会，使学生在自主探索的过程中真正理解一个数学问题是怎样提出来的，一个数学概念是如何形成的，一个结论是怎样探索和猜测到的以及是如何应用的.

 

3.　数学教学要从学生出发，以学生为本，关注学生创新思维的发展和学习价值观的形成

教师的教学是为了学生的发展，学生才是教师的“本”.　特别是数学学习，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性、广泛的应用性，每个学生在数学学习过程中都会表现出各自特有的学习方式和理解方式，那么教师的教学就不仅仅是按照课本进行知识点的讲解、习题的操练，更多的应该是从学生实际出发，注意其在数学学习中正确数学观的确立与数学能力的形成.　具体的教学设计方式可以是就同一问题情境提出不同层次的问题或开放性问题，以便使不同的学生都能得到不同的发展；课堂例题、习题以及课后练习的设计编排要突出层次性，可以设置巩固性、拓展性、探索性等多种层次，在全体学生获得必要发展的前提下，让不同的学生获得不同的体验与发展.

 

培养学生的创新精神是新课程改革的核心目标之一.　创新的心理基础是创新思维.　关注学生的创新思维已成为全世界课程改革的特点，教师要关注学生在学习过程中有价值的思考，鼓励学生创新.　数学学习的过程是前人发现的一个“再发现”过程，学生在“再发现”的过程中被指引的是一条优化的道路，然而发现过程中必然会出现新的元素，所以教师在教学过程中不能单纯地强调学生在“再发现”中所达到的结果，还要关注和肯定学生在各自的“发现”中所展现的创新思维.

 

探索勾股定理篇7

在2002年北京召开的国际数学家大会的会标就是采用赵爽用来证明勾股定理的弦图（如下图）。重要又简单，充满魅力的勾股定理成为数学家及数学业余爱好者极力去研究的定理。

在由三个老师组成的同课异构活动中，我们的主题就是“勾股定理”。不同学校的三个老师讲述的重点一样，利用的都是用面积恒等来证明勾股定理，甚至运用的图形也是一样的，只是讲课的模式恰好各不相同。第一位老师用亲切、自然的态度循循善诱，在探索勾股定理的过程中，让学生体会数形结合和特殊到一般的思想方法。整个课堂显得轻松、和谐，在愉快的氛围中结束了本堂课。第二位老师用了完全不一样的教学方式。她放手由学生自主去探索，让学生分成几个小组，然后集体合作，动手去拼出可以用来证明勾股定理的图形，并尝试着去证明这个定理。这样的课堂，会激起学生学习的兴趣，同时也能培养学生积极参与、合作交流的意识。同样是一堂非常成功的课堂，同样地快乐学习！而第三位老师采取的是传统的讲授方式。基本上都是由老师讲授，学生听讲，虽然也完成了教学内容，但是整个课堂的氛围显得有些沉闷。课堂上基本以教师为主，学生的参与度极少，这对学生的探索能力培养会欠缺些，同时也比较难激起学生学习的兴趣！

同一个主题，不一样的三种课堂模式，让我一直想到现在的教育方式。“先学后教”，这几年杜郎口教学模式风靡全国啊！“以学生为主，教师为辅”是现在很多老师都常接触的教育思想。甚至也有提倡课堂放给学生，教师基本不参与讲课，只起点拨作用。起初我是一直排斥杜郎口这种教学模式的。一直觉得数学语言的美是应该一代传一代的，数学逻辑推理能力更是每个人都应该去学习并掌握的一门技能，怎么能把这些丢了就把课堂给学生，教师都不用去讲授，那又怎样把数学的这些精髓传给下一代呢？于是我一直纠结着。而在这一次的同课异构活动中，三位老师的三种鲜明的授课方式给了我良多的感触。传统的课堂教学，这种形式肯定是要改革的。这样的课堂很难去激发学生学习的兴趣，更难让学生有创造的空间，教出来的学生基本上就是人家所说的“书呆子”了。《数学课程标准》里也告诉我们：数学对于人类社会还拥有另一项重要的文化功能，就是培养发展人的思维能力，特别是理性思维能力。而个人觉得传统的这种教学对于这种能力培养是有局限的，“满堂灌”的教学方式是应该寻找进步的。

喜欢自主的课堂，不是说把课堂都交给学生，个人认为理想中的课堂应该有踊跃思维的学生，有动手实践操作且团结互助的同学，更应该有一个和蔼可亲的老师不时点拨着，把数学语言的美、数学中逻辑思维的魅力给展示出来。可以说，前两个老师的课堂体现了数形结合的思想方法，展示了数学美，同时也激发了学生热爱祖国悠久文化的思想，激励了学生发奋学习的动力。这样的课堂应当是非常成功的了。

作为一名数学老师，如何让学生喜爱数学，如何把我们几千年来数学展示的美以及不可或缺的作用一一呈现，是我一直努力的目标。怎样的课堂适合这个时代的学生，让他们既快乐地学习，又真正学到东西？是我一直摸索的方向。

探索勾股定理篇8

一、创设情境，培养学生的学习兴趣

兴趣是最好的老师，学生有了学习兴趣，他们的思维就会保持在积极的探索状态之中，有了兴趣他们把学习作为自己内心的需要，而不是把学习当作一种负担。在教学中，我有意识地创设问题情境，激发学生求知的欲望。

1.用新旧知识的冲突，激发学生的探索欲望。例如，在“正弦和余弦”概念教学时，设计如下两个问题：

①RtABC中，已知斜边和一直角边，怎样求另一直角边？

②在RtABC中，已知∠A和斜边AB，怎样求∠A的对边BC？

问题①学生自然会想到勾股定理，而问题②利用勾股定理则无法解决，从而产生认知上的冲突──怎样解决这类问题呢？学生的探求新知识的欲望便会油然而生，产生学习兴趣。

2.利用学生在生活中熟知的，常见的实际问题来激发学生的探索欲望。

如在教“统计初步”时，设计以下例子：

王老师为了从甲乙两名运动员中选取一人参加比赛，两人在相同条件下各跳10次，成绩如下表：

甲：5.7　5.8　5.6　5.8　5.6　5.5　5.9　6.0　5.7　5.4

乙：5.9　5.5　5.7　5.8　5.7　5.6　5.8　5.6　5.7　5.7

怎样比较两人的成绩高低，选谁参加比赛？王老师经过科学的数据处理，选出一名运动员参加比赛，取得了较好的成绩。他是怎样计算的呢？学生此时思维活跃起来，对探求新知识兴趣昂然，师生很顺利地完成此节内容，同时也加深了学生对数学知识来源于生活又应用于生活的认识。

3.利用数学小实验，引发学生的好奇心和求知的欲望。例如，在讲三角形内角和定理时，可以这样设置问题： 转贴于

①把课前剪好的ABC纸片，剪下∠A、∠B和∠C拼在一起，观察它们组成什么角？

②由此你能猜出什么结论？

③在拼图中，你受到哪些启发？（指如何添加辅助线来证明）这样创设情境，使学生认识到∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而对三角形内角和定理有一个感性认识，同时通过拼角找出定理的证明方法，学生在动脑、动手、动眼、动口的实践中，培养了观察能力，提高了学习兴趣。

二、创设情境，鼓励学生主动参与，在亲历数学建构过程中培养学生的创新意识

美国教育家布鲁纳认为：“知识的获取是一个主动的过程，学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者。”在课堂教学中创造条件，创设情境，让学生自己去探索、去发现，亲历数学构建过程，掌握认识事物，发现真理的方式方法。从而培养学生的创新意识。

记得讲勾股数时，我出示了这样几组勾股数，请同学们讨论这些勾股数的特征：

3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41……

开始学生们只注意到：每组勾股数的前一个数都是奇数，后两个数是一奇一偶，之后陷入僵局。教师启发道：一奇一偶之间有什么联系？学生们发现是连续数。忽然一名学生发现后两数之和恰是一个完全平方数，稍一顿，即抬头，急切地说：“这两个数的和恰是一个完全平方数，这个完全平方数就是前一个数的平方……”这样，在思考，观察中发现规律，灵感一触即发。学生们找到了勾股数的特征：即大于1的奇数的平方分成两个连续的自然数，此奇数与这两个连续自然数成勾股数。