“分类讨论”在初中数学中的应用

“分类讨论”类试题不仅考查学生的数学基本知识与运用方法，而且考查了学生思维品质的深刻性。然而教师在讲解此类问题时往往考虑不够周全，究其原因主要是平时的教学中对“分类讨论”的数学思想渗透不够.本文将主要举例说明“分类讨论”的数学思想在解题中的应用，这对提高教师指导学生全面分析问题的能力以及养成严谨的思维品质都是有较大益处的.

一、直线型中的分类讨论

若∠AC'B为钝角，AC=AC' ，

∠AC'C=∠ACC'=60°，∠AC'B=120°.

例2：操作：如下图，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角尺的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E．

探究：（1）观察操作结果，哪一个三角形与BPC相似？并证明你的结论；

（2）当点P位于CD的中点时，你找到的三角形与BPC的周长比是多少？

解析：第一问：如下图（1），另一条直角边与AD交于点E，则PDE∽BCP，证明：在PDE和BCP中，∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，∠1=∠2，又∠PDE=∠BCP=90°，PDE∽BCP；或如下图（2）若另一条直角边与BC的延长线交于点E，同理可证PCE∽BCP或BPE∽BCP；

第二问和第一问也要分两种情况，如下页左上图（3）、（4）.

例3：如下图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM=_______时，AED与以M、N、C为顶点的三角形相似.

三、圆中的分类讨论

例6：矩形ABCD中，AB=5，BC=12，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是______________.

解析：本题首先要确定圆C的半径范围是5＜Rc＜12，然后要明确圆A与圆C可以内切，也可以外切，而AC=13，当圆A 与圆C外切时圆A的半径范围是1＜Ra＜8；圆A 与圆C内切时圆A的半径范围是18＜Ra＜25；因此圆A 的半径范围是1＜Ra＜8或18＜Ra＜25.

例7：如下图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0）、 A（0，2）、B（2，0）的圆上一个动点，（P与O、B不重合），则∠OAB=_____，∠OPB=_______ .

解析：本题源于课本，但是又高于课本，人教版几何第三册习题7.2里第六题是求一条弦所对的圆周角的度数，如果对这个题理解深刻的话，可以用同样的方法解决这个问题.∠OAB=45°，当点P在优弧OAB上运动时，∠OPB=45°；当P在弧OB上运动时，∠OPB=135°，所以∠OPB=45°或135°；

分类讨论涉及全部初中数学的知识点，其关键是要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做到既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案.