《多边形的面积复习》教学设计

教学内容

人教版小学数学五年级上册P.121或苏教版小学数学五年级上册P.122。

教学目标

1.整理多边形的面积计算公式、推导过程，多角度沟通它们之间的相互联系，形成良好的认知结构，体会转化的数学思想。

2.将数学问题与生活实际相联系，熟练应用所学知识解决简单实际问题，形成积极的学习情感。

教学过程

一、 联系生活，以“境”引入

1.谈话：学校的北门内有一块空地，学校一直都想把它给利用起来，张老师给这块地做了一个规划，把这块地分成了几块区域（课件出示规划图）。如果让你作为工程负责人来建设这块地，你会考虑到什么因素？（面积、价格等）

2.考虑的因素可能会比较多，但是一定会考虑到这几块多边形土地的面积，那咱们已经会计算哪些多边形的面积了呢？（课件逐一出示图形）

评析：多边形面积计算复习课，一般会直接回忆面积公式并进行计算练习，缺乏与现实生活的联系，不足以唤起学生的学习热情。从学生每天见到的学校北门的一块空地入手，自然贴切且能引起学生的学习需要。

二、 回顾梳理，以“理”求清

1.还记得它们的面积怎么算吗？先说说字母公式，再解释一下这个公式。（随学生的回答课件逐一出示公式）

2.数学是一门很严密的学科，讲究来龙去脉，你还能记得这些公式是怎么来的吗？请同学们把你自己整理出来的推导过程与同桌交流一下。

3.全班交流。（课件随学生的回答演示推导过程）

（1）平行四边形面积公式：把平行四边形转化成长方形推导。

追问：怎么转化？（展示两种转化过程），是随意地剪开再拼吗？（沿高剪开）目的是什么？（产生直角才能形成长方形）转化好之后，怎么推导出公式的？

小结：平行四边形面积公式是由平行四边形转化成长方形推导出来的，在转化的过程中形状变了但面积不变，这叫“等积变形”转化。

（2）三角形面积公式：把三角形转化成平行四边形推导。（展示转化过程：两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。）

引导：转化好之后，怎么推导出公式的？

指出：这种转化与平行四边形转化成长方形不同，叫做“扩倍”转化，所以要除以2。

追问：能否也通过 “等积变形”转化成平行四边形呢？（动态展示如图1）能根据这种转化推导公式吗？

（3）梯形面积公式：把梯形转化成平行四边形推导。（展示转化过程：两个完全一样的梯形旋转后拼成一个平行四边形）

引导：怎么推导出公式的？

追问：这是什么转化？（扩倍）

设问：能否也通过 “等积变形”转化成平行四边形呢？（动态展示如图2）现在怎么推导公式？

（4）长方形的面积公式：直接推算。

设问：长方形的面积公式是最先学的，看图回忆一下（如图3）。谁还记得？

（5）正方形的面积公式：直接由长方形推出来的。

正方形因为和长方形的特殊关系，是由长方形公式直接推导的，怎么推的？

4.根据大家的回忆，这些公式是这样来的？（课件动态出示图4）你会看到两个什么关键词？（推导，转化）先有转化后有推导，都先转化成什么？（学过的图形）

指出：新知识转化成旧知识，再由旧知识推导出新知识，这是我们学习数学的重要方法。

5.同学们自己整理时也画出了不同的关系图，上台展示一下好吗？（投影展示）

指出：通过这样的关系图，在新、旧知识间建立起了联系，这是一种很好的复习方法。

评析：复习和梳理，首先应该是学生自我整理的过程。比较恰当的教学方式应是，课前自主梳理，根据各自梳理的内容和方式，再进行交流和引导。学生自主梳理中会出现三种不同的层次：最低层次，仅仅理出了各种平面图形面积计算的方法或公式；一般层次，不仅理清了面积计算的方法还理清了各图形面积公式的推导过程；最高层次，能根据各图形面积计算公式的推导过程用个性化的方式恰当地表示出它们之间的联系。

课堂上对各自的梳理内容进行交流，按“结论――由来――联系”的脉络予以引导，其意义就是在“理”中让不同层次的学生都获得对各图形面积计算的清晰认识，即以“理”求清。

三、 沟通联系，以“通”达融

谈话：其实，我们换个角度看，这些公式之间还有另外一些联系。

1. 梯形与三角形面积公式。

（1）出示梯形：它的面积怎么算？（出示公式S=（a+b）h÷2）

（2）课件展示上底不断缩短变成三角形的过程：如果还用这个公式计算面积，你有什么看法？（要把公式中一个底变成0）

（3）用0代替一个底，再整理一下，看看变成了什么？（出示公式S=（a+0）h÷2=ah÷2）

2. 梯形与平行四边形面积公式。

（1）把这个梯形再变一变（课件展示上底不断变长成为平行四边形的过程），如果还用梯形的这个公式，你有什么建议？（要把上底、下底变成同一个字母）

（2）把上底和下底都用a表示，再整理一下看看，变成了谁的公式？（出示公式 S=（a+a）h÷2=2ah÷2=ah）3. 梯形与长方形面积公式。

（1）当然还可以再变，（课件展示上底向两边同时变长成为长方形的过程）还能用梯形这个公式吗？（上底下底变得相同，高用b表示）

（2）再整理一下，变成了谁的公式？（出示公式 S=（a+a）b÷2=2ab÷2=ab）

4.小结：我们发现，梯形面积公式可以作为这几个图形的通用公式，当梯形的一个底变成0时，梯形公式就变成了三角形公式（板书：b=0时――S=ah÷2），当上底与下底一样长时，梯形公式就变成了平行四边形公式（板书：b=a时――S=ah），进一步还可以变成长方形的面积公式。（S=ab）

评析：既然是对一个阶段所学内容的整理和复习，显然，在所学知识彼此间建立关联，形成结构，融会贯通，才应该是复习课的要旨所在。三个面积公式，除了在纵向推导过程中存在千丝万缕的联系外，在横向比较时会发现，它们的计算公式在形式上也有相通之处，而这种相通之处如果能够被学生所感受和理解，那么他们就更能深刻地把握其内涵。基于此，本节课中笔者尝试引导学生换一个角度整理，从梯形的变形入手，通过直观图形的比较和抽象公式的沟通，横向打通了梯形和三角形公式、平行四边形及长方形之间的联系。

四、 训练拓展，以“思”得慧

1.根据这几个公式之间的关系，你能很快判断出下面几个图形的面积有什么关系？（课件出示图5）

你是怎么想的？（可以全看成梯形，前两个图形上底相同、下底相同，高也相同，面积相等；后两个图形上底下底的和相等，高也相等，面积相等；后两个图形上下底的和是前两个的一半，高相等，面积是前两个图形的一半）

评析：学生只有从多边形的面积公式间的联系、组成公式的要素之间的联系入手去进行思考与判断，而不是割裂其联系机械地依据公式进行计算，才能达到融会贯通的境界。

2.在点子图中分别画出面积是12的三角形、梯形。想一想怎样画得又对又快。

（1）交流三角形的画法。

课件出示底是6厘米、高是4厘米的平行四边形。设问：在这个平行四边形中如何得到面积是12的三角形？只有这一种分法吗？（课件展示多种分法）你能得到一个什么结论？（可以画出无数个面积是12的三角形，等底等高的三角形面积相等。）

课件展示底是8厘米、高是3厘米的平行四边形，设问：能得到多少个面积是12的三角形？（无数个）这无数个三角形有什么共同之处？（也是等底等高）

追问：两个三角形等底等高吗？说明了什么？（面积相等的三角形不一定等底等高）底和高应满足什么样的关系？（积是24）

（2）交流梯形的画法。

出示底是6厘米、高是4厘米的平行四边形：能不能得到启发，很快地画出面积是12的梯形？上底下底还可能是别的情况吗？（课件展示不同分法）这几种分法相比，你发现什么？（高相等，上下底的和相等）

出示底是8厘米、高是3厘米的平行四边形：能得到面积是12的梯形吗？与刚才的这些梯形相比，你又发现了什么？（既不等底也不等高）上、下底和高有一个共同的联系，是什么？（上下底的和乘高必须等于24）

评析：一般来说，学生容易将决定“面积相等”的范畴窄化为“等底等高”。通过此环节的交流，让学生在画中关注“形”，在“形”中聚焦“数”，在形与数的思考中厘清了面积与影响其变化的长度变量之间的关系。

3.再次出示规划图，现在我们能算出每一块区域的面积吗？

评析：此练习的设计与课的开头相呼应，图中包括了已学的五种平面图形，让学生从这幅平面图中提取有用数据，再运用面积公式计算每一个区域的面积。这比直接告诉学生图形和数据，然后用面积公式计算更具有现实意义。

五、 总结提升，把握方法

今天我们整理了多边形的面积计算，进一步加深了对这些知识的理解。希望同学们学完新知识后，能在新旧知识及新知识之间建立起联系，这样才能学得更好。