用折纸探索正多边形组拼柏拉图多面体的方法

摘 要：本文通过折叠正多边形探索了用正多边形组拼正多面体的方法，并发现只能够组拼出正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体.

关键词：折纸；正多边形；正多面体

柏拉图多面体也称正多面体，每个正多面体是由相同的正多边形围成的立体图形. 古希腊哲学家柏拉图发现，正多面体只存在五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.

是否仅有五种正多面体？如何在中学生的理解范围内进行证明？翻阅文献发现，对于这个问题的证明方法主要有：欧拉公式法、三角函数法、代数法等等. 本文通过折叠正多边形探索组拼正多面体的方式，进而说明存在且仅存在五种正多面体. 为了便于说明，正多边形的一个内角记为α，正多面体的一个顶点出发引出的棱数记为m.

折正三角形组拼正多面体

通过折叠，折出三边都有口袋的正三角形作为基本材料，将正三角形相互连接，组拼成正多面体. 为了连接正三角形，需要折叠出相应的连接材料并使其边长与正三角形边长相等（例如菱形）. 组拼过程中将菱形的一边插入一个正三角形的口袋内，另一边插入第二个正三角形的口袋内，正三角形的其他边也通过连接材料用相同方法连接，直到组拼出正多面体，如图1.

事实上，两个面或者是三个面无论如何都不能构成立体图形，构成立体图形至少需要4个面.

1. 每个顶点连接三个正三角形的组拼方式

正多面体的每个顶点连接3个正三角形（如图2），正三角形内角60°，每个顶点引出3条棱，即m=3，3α=180°

2. 每个顶点连接四个正三角形的组拼方式

正多面体的每个顶点连接4个正三角形（如图4），每个顶点引出4条棱，即 m=4，4α=240°

3. 每个顶点连接五个正三角形的组拼方式

正多面体的每个顶点连接5个正三角形（如图6），每个顶点引出5条棱，即 m=5，5α=300°

4. 每个顶点连接六个正三角形的组拼方式

正多面体的每个顶点连接6个正三角形（如图8），每个顶点引出6条棱，即 m=6，6α=360°，此时正三角形完成连接成一个平面，不能组拼出正多面体.

图8

同理当用7个、8个、9个、10个……正三角形进行组拼，每个顶点连接的正多边形数大于等于6个，即m≥6，mα≥360°，均不能组拼出正多面体. 综上所述，用正三角形组拼正多面体，必须满足从每个顶点出发的棱数3≤m≤6.

因此，正三角形能组拼的正多面体只有：正四面体、正八面体、正二十面体.

折正方形组拼正多面体

正方形的内角α=90°，正多面体的每个顶点连接3个正方形，每个顶点引出3条棱，即m=3，3α=270°

图9

当正多面体的每个顶点连接4个正方形，从每个顶点出发引出4条棱，即m=4，4α=360°时，四个面完全连接成平面；同理，当m>4时，正方形不能组拼出正多面体. 所以用正方形组拼正多面体只有一个顶点连接3个正方形的情况，即用正方形只能组拼出正六面体.

折正五边形组拼正多面体

正五边形的内角为α=108°，正多面体的每个顶点连接3个正五边形，每个顶点出发引出3条棱，即m=3，3α=324°

图10

当正多面体的每个顶点连接4个正五边形，从每个顶点出发引出4条棱，当m=4，4α=432°≥360°时，不能构成正多面体. 同理，当m>4时，正五边形不能构成正多面体. 所以用正五边形组拼正多面体只有一个顶点连接3个正五边形的情况，即用正五边形有且只能构造出正十二面体.

小结

由正多边形的内角公式可知，当边数n不断增大时，内角也随之增大. 构成正多面体的一个条件是，正多面体的每个顶点至少连接3个正多边形. 而由实验发现，当正多边形的边数为6时，α=120°，3α=360°将不能构造出正多面体. 同理，当正多边形的边数大于6时，也不能构造出正多面体.

利用正三角形组拼，只能构造出正四面体、正八面体、正二十面体三种几何体；

利用正方形组拼，只能构造出正六面体一种几何体；

利用正五边形组拼，只能构造出正十二面体一种几何体；

当正多边形边数增大时，例如正六边形、正七边形、正八边形、正九边形……任意方式均不能构成正多面体.

综上所述，柏拉图多面体有且只有5种，分别为正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.

本文用折纸探索了正多边形组拼柏拉图多面体的方法，同时说明了只存在正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体. 这类探索实验可以作为数学探究性学习的素材，学生在组拼过程中，通过折纸操作，感受、体验和理解数学概念和定理的形成过程，培养和提高学生的数学思维能力、空间认知能力和折叠操作能力.

本文仅探索了用正多边形组拼柏拉图多面体的方法，事实上，利用折纸还可以探索多边形面积，理解分数的意义，构造几何模型等，全国各地的高考数学试题中也常有折纸问题出现. 在数学课堂教学中，如果结合折纸模型，能够增强学生的兴趣，提高课堂效率，达到寓教于乐的效果.