凸多边形全等的判定

一、 问题的提出

形状、大小都相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形。

以三角形为例，如果一个三角形可以通过平移、旋转、翻转等运动与另一个三角形重合，我们就说这两个三角形是全等三角形。两个全等三角形的对应边、对应角、面积、周长都相等。类似地，就有全等四边形、全等五边形，等等。

三角形的全等判定，为我们所熟知。而怎么判定凸多边形全等呢？以下从凸四边形入手，探讨凸多边形全等的判定方法。

二、四边形的全等

四边形全等的条件及证明多有论述，此处仅作引述，不一一证明。

（一）四个条件无法判定四边形全等。

四条边相等无法判定四边形全等。例如一个正方形，和一个与之边长相等的菱形。三边一角相等无法判定四边形全等。如：

同样，二边二角相无法判定四边形全等（分对应相等的两边为邻边，两角为对角或邻角来讨论）；一边三角相等无法判定四边形全等；四个角相等无法判定四边形全等。

（二）证明四边形全等至少需要五个条件。

1.四边一角的情况

公理1.四边及任意一角对应相等的两个四边形全等（"SSSSA"）。

2.三边两角的情况

公理2.三边及两夹角对应相等的两个四边形全等（"SASAS"） 。

相反地，三边及一个夹角，以及另一夹角的对角对应相等，不能证明两个四边形全等；

三边及一个夹角，以及该夹角的对角对应相等，不能证明两个四边形全等；

三边及两个非夹角对应相等，不能证明四边形全等

3.两边的情况

四边形四个角的度数总和为360°，所以三个角对应相等，说明第四个角也相等。这样，讨论"两条边三个角"的条件时，三个角可为任意三个角，只需讨论两个边的不同情况即可。以下按两邻边、两对边两种情况分析。

公理3. 两邻边及任意三个角对应相等的两个四边形全等（"SSAAA"） 。

相反，两对边及任意三个角相等，不能证明两个四边形全等。

4.一条边四个角的情况

上文提到，三角一边相等无法判定四边形全等，一边四角与此条完全一样。

三、凸n边形的全等

证明三角形全等至少需要三个条件，而证明四边形全等至少需要五个条件，那么对于凸n边形的全等，条件的个数与判定的方法有规律吗？

（一）条件个数

每一个多边形，都可以被分解成多个三角形。三角形的全等判定方法，是判定多边形全等的基础。

四边形中，连接一条对角线，可以通过分割变成两个三角形，如图。

证明四边形全等时，可以先三个条件证明ABC与A'B'C'，那么AC与A'C'自然相等；然后再用两个条件和AC=A'C'，证明ABC≌A'B'C'。既然两组三角形同时全等，那么这两个四边形也一定全等。

同样道理，五边形可以分割成一个四边形和一个三角形，也就是三个三角形。由此推测出判定五边形全等需要至少七个条件，如："五边二角"。

一般情况下，凸n边形的全等判定需要几个条件呢？我们仍然沿用"分割法"来解决此问题。

如上图，过凸n边形的一个顶点A1共有n-3条对角线，它们将凸n边形分为n-2个三角形。要证明此n边形与右边的n边形全等，需要证明所有小三角形全等。

证明A1A2A3≌B1B2B3，需要3个条件。比如A1A2 =B1B2，A1A2 =B1B2，∠A2=∠B2。

由A1A2A3≌B1B2B3又可得出A1A3=B1B3，再增加两个条件，便可证明A1A3A4≌B1B3B4。

依此类推，证明凸n边形全等的条件总个数为3+2（n-2），即2n-3个条件。

（二）判定全等方法

1.n个边，（n-3）个角。

2.（n-1）个边，（n-2）个角，其中角均为相等边的夹角。

3.（n-1）个角，（n-2）个边，其中边均为相等角的夹边。

理由源于上文提到的"分割法"，证明过程不再赘述。

参考资料

1.《四边形全等的判定》（王春辉 刘海燕）

2.《超常儿童成长的地方》 学苑出版社