逐段线性函数

“我们知道一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是一条直线，但是在实际问题中自变量的取值通常有一定的范围.例如，一盘蚊香长105cm，点燃时每小时烧掉15cm，蚊香点燃后的长度y（cm）与点燃时间t（h）之间存在函数关系y=105-15t.这里t的取值范围是什么？函数的图象还是一条直线吗？”Z老师以这两个设问开始了今天的数学讲座.

小清说：t的取值范围是0≤t≤7，函数的图象是一条线段，如图1.

Z老师说：对.下面我们来作函数y=|x+1|-|2x-1|-x的图象.在函数的表达式中含有绝对值符号，该如何作出它的图象呢？

W同学说：通过对x的取值的讨论，化去绝对值符号，转化为一次函数.对于x+1来讲，当x≥-1时为|x+1|，当x≤-1时为-（x+1）；对于|2x-1|来讲，当x≥1/2时为2x-1，当x≤1/2时为1-2x. x的取值该分几种情况来讨论呢？是4种吗？（W同学把话停住了.）

H同学说：我认为应分三种情况，即x≥1/2，-1≤x≤1/2，x≤-1.可利用数轴来帮助理解.见图2.计算的结果是：当x≥1/2时，y=-2x+2，图象是一条射线；当-1≤x≤1/2时，y=2x，图象是一条线段；当x≤-1时，y=-2，图象是一条射线.在同一直角坐标系中，这三部分组合成函数y=x+1-2x-1-x的图象，如图3.

小清说：函数的图象是一条折线，我想只要找出四个点，就能作出.线段的两个端点，又分别是两条射线的端点，即（-1，-2），（1/2，1）算两个，它们是折线的折断点.再分别在两条射线上各取一点，过这四个点就能画出折线.作图的过程可简化为：①列表：②找点（-2，-2），（-1，-2），（1/2，1），（1，0）.③画线.

Z老师说：你们分析得都很好.在本题中，绝对值符号中都是一次多项式，x的次数最高是一次，这样的函数称为逐段线性函数.它的图象是一条折线（证明略）.刚才小清又提供了画折线的简便方法，很实用.提出折线的折断点，也很形象.作出了函数的图象，引申出很多新问题.解方程x+1-2x-1=x，怎么办？

S同学说：该方程就是x+1-2x-1-x=0，解就是函数y=|x+1|-|2x-1|-x当y=0时x的值，图象上表示为直线y=0（x轴）与折线交点的横坐标，是1和0.

Z老师说：利用上述结论，形数结合，常给解题带来便捷.请看题：适合关系式3x-4+3x+2=6的整数x是.（1998年希望杯竞赛题）

W同学说：我想先求出方程的解，进而求得整数解.化简方程得x-4/3

+|x+2/3|-2=0，作出函数y=|x-4/3|+|x+2/3|-2的图象.找四个点（见右表），得图4.由y=0得-2/3≤x≤4/3.所以，所求整数x为0和1.

Z老师说：请再看题：若x1，x2都满足条件2x-1+2x+3=4，且x1＜x2，则x1-x2的取值范围是.（2004年山东省竞赛试题）

L同学说：与上题类似，原方程化简得：|x-1/2|+|x+3/2|=2，找四个点，

作出函数y=|x-1/2|+|x+3/2|的图象，得图5.方程的解是折线与直线y=2的交点的横坐标，为-3/2≤x

≤1/2，于是有-3/2≤x1＜x2≤1/2，所以-2≤x1-x2＜0.

H同学问：L同学与W同学的解法不同，对不对呢？

Z老师说：两种解法实质是一致的.关键是弄清方程解的几何意义.再看题：使方程x-1-x-2+2x-3=c恰好有两个解的所有实数c为 .

小清说：这是解方程的逆向问题.先作出函数y=x-1-x-2+2x-3的图象，确定5个点（见右表）.图象如图6.实数c使方程恰有两个根，由于方程的解是直线y=c与折线的交点的横坐标，解的个数就是交点的个数，这说明直线y=c与折线有且只有两个交点，显见有两种情况，即1＜c＜3或c＞3.（你看出来了吗？）

Z老师说：这是一道极值题，x+1+x-2+x-3的最小值是1998年江苏省竞赛题）试问最小值在图象上如何体现出来？

H同学说：就是图象上最低点的纵坐标.因此，我作函数y=x+1+x-2

+x-3的图象，找5个点（见右表），其中（-1，7），（2，4），（3，5）为折断点，作出图象如图7.当x=2时，y=4是最小值.但我有一个疑问，找5个点，画个图，从图上看出的结果一定对吗？

Z老师说：我们没有对x的取值进行讨论，好像缺少严密的推理过程，使你产生疑问是可以理解的.但我们应用的是问题的一般情况的结论，肯定是正确的.而“形数结合”是解题的一种重要策略，加上又是填空题，只要写出正确的结果，这当然是一种既省时又省力的好办法.不过本题还有一种更简便的解法，若数轴上的点X表示数x，点A表示数a，x-a表示点X到点A的距离.本题转化为在数轴上有点A、B、C分别表示数-1，2，3，在数轴上找一点X，使该点到A、B、C三点的距离的和为最小，显见B点作为X点即为所求.所以，所求结果就是线段AC的长，为4.

这是2000年江苏省的一道竞赛题：已知x+2+1-x=9-y-5-1+y，则x+y的最小值为，_______最大值为._________

W同学说：考虑函数z=x+2+1-x，选四个点，图象见图8，所以z≥3.再考虑函数z=9-y-5-1+y（注意：y表示自变量）.列表，图象见图9，所以z≤3.由已知条件x+2+1-x=9-y-5-1+y，得：x+2+1-x=3，9-y-5-1+y=3，于是-2≤x≤1，-1≤y≤5，所以x+y的最大值为1+5=6，最小值为-2+（-1）=-3.

小清说：老师，受你刚才的启发，x+2+1-x=x+2+x-1，最小值为3，当-2≤x≤1时取得.同理y-5+y+1的最小值为6，当-1≤y≤5时取得.因此9-y-5-1+y的最大值是3，当-1≤y≤5时取得.这样也能得到上述结果.大家听了都频频点头，表示赞同.

Z老师说：今天讨论的题中还有能用这种方法解决的吗？请大家思考.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。