对一道课本例题的探究

课本例题蕴含着丰富的内容，我们不能简单地一解了之.下面以义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级的一道例题为例，谈谈如何进行深入的探究，以获取更多的收益.

已知：如图1，ABC的3个顶点都在O上，AD是ABC的高，AE是O的直径，ABE与ACD相似吗?为什么?

分析：要确定ABE与ACD是否相似，我们应根据问题的条件，仔细地观察所给的图形．不难发现：由于AE是O的直径，所以它所对的圆周角∠ABE是一个直角，因此，∠ABE与ACD中的∠ADC相等.∠AEB与∠ACD都是弧AB所对的圆周角，这两个角也相等.根据“有一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似”可以知道：ABE与ADC相似.(解略)

反思：(1)例题中所给出的ABC恰好是一个锐角三角形，如果是一个钝角三角形或直角三角形(如图2，3)，其他条件不变，ABE与ACD还相似吗?

(2)要说明圆中的三角形相似，往往是借助于图形中隐含的圆周角、圆心角之间的关系；对本题的解答，我们要灵活地抓住它的基本图形，这样在解决其他问题时，也能够触类旁通，举一反三.

(3)本题中，既然ABE与ADC相似，根据相似三角形的性质可知：这两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形的边存在着怎样的关系呢?我们不妨试着做一做：

ABE∽ADC，

AB/AK=AE/AC，

AB・AC=AD・AE.

实际上，无论圆的内接三角形是什么形状，在本题条件下的ABE与ACD都能够相似，也存在着AB

・AC=AD・AE的关系.

拓展：三角形的任意两边之积等于第三边上的高与这个三角形外接圆的直径的乘积.

应用：运用这个结论，可以使有的问题解答思路简洁、明快.

例1已知：如图4，ABC内接于O，AD是ABC的高，AC=6，AB

=8，O的半径为6.求高AD的长.

分析：O的半径为6，则O的直径为12.根据“三角形的任意两边之积等于第三边上的高与这个三角形外接圆的直径的乘积”，只需要过点A作出一条直径就可以建立相似三角形，使问题得以解决.

解答：作直径AE，连接BE.

AE是O的直径，

∠ABE=90°(直径所对的圆周角是直角).

∠ADC=90°,

∠ABE=∠ADC.

又∠AEB=∠ACD(同弧所对的圆周角相等)，

ABE∽ADC，

AB/AK=AE/AC，

AB・AC=AD・AE.

O的半径为6，

O的直径AE为12．

12AD=6×8.即：AD=4.

说明：应用这个拓展结论解题时，有必要再进行一次证明．

例2 已知：如图5，BE是ABC的外接圆O的直径，CD是ABC的高．

(1) 求证：AC・BC=BE・CD.

(2)已知CD=6，AD=3，BD=8，求O的直径BE的长.

分析：(1)只需要证明ADC

∽ECB就可以了；(2)由(1)知：要求直径BE的长，关键在于分别求出AC、BC、CD的长．

解答：

(1)证明：连接CE.

BE是O的直径，

∠BCE=90°(直径所对的圆周角是直角)．

∠ADC=90°，

∠BCE=∠ADC．

又∠BAC=∠BEC（同弧所对的圆周角相等）,

ADC∽ECB.

AC/BE=CD/BC，

AC・BC=BE・CD.

(2)解：∠ADC=90°，

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。