构造完美图形,优化几何证明

“美是真理的光辉”,对科学美的完善和追求常常为发现新的理论、萌发新的思想提供重要线索。同样,在几何证明过程中,我们可以运用补美思想,通过延长线段,取中点,作平行线、垂线等多种方法,构造等边三角形、正方形等完美图形,充分利用这些基本图形的美学性质,诱发直觉灵感,发现证题思路,培养创造能力,从而优化几何证明。下面我谈谈构造完美图形在几何证明中的应用。

1.构造等边三角形

等边三角形具有三边相等,三个角都为60°,重心、垂心、内心、外心四心合一等美学特征,证明过程中,通过构造等边三角形,可以充分应用等边三角形的基本性质,拓展解题思路。

例1.如图1,ABC中,AB=AC,且∠D=∠DBE=60°。求证:AE=EB+BC。

分析与证明:注意到AB=AC,且∠D=∠DBE=60°,那么能否构造等边三角形呢?尝试延长BC至F,使CF=BD,连结AF。

AB=AC,

∠ABC=∠ACB,∠ABD=∠ACF,

ABD≌ACF,

DB=CF,且∠D=∠F。

又∠D=60°,

ADF是等边三角形,

AD=DF。

又∠D=∠DBE=60°,

DBE也是等边三角形,

DB=BE=DE,

AE=EB+BC。

2.构造等腰三角形

等腰三角形具有两腰相等,两底角相等,底边上的中线、顶角的角平分线和底边上的高合一等美学特征,证明过程中,可以通过构造等腰三角形发掘解题思路。

例2.如图2,ABC中,从点A作∠ABC,∠ACB的平分线的垂线,垂足分别为P、Q。求证:PQ∥BC。

分析与证明:注意到已知条件与等腰三角形底边上的中线、顶角的角平分线和底边上的高合一等美学特征类似,能否构造等腰三角形证题呢?

延长AQ、AP分别交BC于E、F。

∠ABP=∠FBP,BP=BP,BPAF,

RtAPB≌RtFPB,

AB=BF,

ABF为等腰三角形,

AP=PF。

同理,ACE为等腰三角形,AQ=QE,

PQ∥BC。

3.构造直角三角形

直角三角形具有两锐角互余,斜边上的中线等于斜边的一半,两直角边的平方和等于斜边的平方等美学特征,证明过程中,构造直角三角形有时也可以“柳暗花明又一村”。

例3.如图3,梯形ABCD中,∠A+∠D=90°,AD∥BC,设M、N分别为AD、BC的中点。求证:MN=(AD-BC)。

分析与证明:注意到条件∠A+∠D=90°,尝试平移AB、CD,即过N作AB、CD的平行线交AD于E、F,构造ENF。

AB∥EN,又BN∥AE,

四边形AENB是平行四边形,

AE=BN,∠MEN=∠A。

同理,FD=NC,∠MFN=∠D。

∠A+∠D=90°,

∠MEN+∠MFN=90°,

ENF为直角三角形,

MN=EF=(AD-AE-FD)=(AD-BN-NC)=(AD-BC)。

4.构造全等三角形

全等三角形具有对应角相等,对应边相等等美学特征,证明过程中,通过构造全等三角形可以将看似毫不相干的条件集中起来,实现问题的转化。

例4.如图4,以ABC的AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形AEB和BFC,D为AC中点。求证:DE=DF,DEDF。

分析与证明:要证DE=DF,可以由∠DEF=∠DFE得到,但与已知条件联系不上,注意到D为AC中点,能否构造全等三角形寻找解题突破口呢?尝试取AB、BC的中点G、H,连结EG、DG,DH、HF。问题在于证EDG≌DFH。

AD=DC,CH=HB,

DH∥AB,DH=AB,

∠CHD=∠CBA。①

又AEB为等腰直角三角形,AG=GB,

EGAB,EG=AB,

DH=EG。②

同理可证,HF=DG,∠AGD=∠CBA。③

由①③得,∠AGD=∠CHD。

又BFC为等腰直角三角形,HFBC,

∠EGA+∠AGD=∠FHC+∠CHD,即∠EGD=∠DHF④

由②③④得,EDG≌DFH,

DE=DF,∠HDF=∠GED。

又∠FDE=∠HDF+∠GDH+∠GDE=∠GED+∠AGD+∠GDE=180°-90°=90°,

DEDF。

5.构造平行四边形

平行四边形具有对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分等美学特征,证题过程中,可以运用平行四边形的性质实现等量的转化。

例5.如图5,在ABC中,M为AB的中点,D为AB上任一点,N、P分别为CD、CB的中点,Q为MN的中点,PQ与AB相交于E。求证:AE=ED。

分析与证明:要证AE=ED,换种表示方式就是要证E为AD的中点。在ADC中,N是CD的中点,连结PN、PM、NE。如果EN∥AC,则问题就解决了。又注意到在ABC中,MP∥AC,且MP=AC,则只需证四边形NEMP是平行四边形即可。

N、P分别为CD、CB的中点,

NP∥DB,即NP∥EM,

∠PNQ=∠EMQ,

又∠NQP=∠MQE,且NQ=MQ,

NPQ≌MEQ,

NP=EM,

四边形NEMP是平行四边形,

PM∥NE。

又P、M分别是BC、AB的中点,

PM∥CA,

NE∥CA。

又N是CD的中点,

E为AD的中点,即AE=ED。

6.构造矩形

矩形具有平行四边形的性质,同时还有对角线相等,四个角均为直角等美学特征,有时可以通过构造矩形,丰富解题途径。

例6.如图6,在正方形ABCD中,AE=CF,BGCE。求证:DGFG。

分析与证明:延长BG交AD于H;连结CH、FD,交点为O,连结OG。

在正方形ABCD中,BGCE,

∠ABH=∠BCE,

RtABH≌RtBCE,

AH=BE,

HD=AE,

又AE=CF,

HD=CF,

四边形CDHF是矩形,

OH=OC=OD=OF,

在RtCGH中,OG=OC=OH,

OG=OF=OD,

DGFG。

7.构造正方形

正方形具有四边相等,四个角都是直角,对角线相等且垂直平分等美学特征,是完美的四边形,通过正方形的构造,可以从多角度探寻思路。

例7.如图7,在ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,D为BC的中点,在AC上取一点,使∠EDC=∠ADB,连结BE。求证:BEAD。

分析与证明:看到已知条件,可想到正方形中的结论,能否构造正方形呢?过点C作BC的垂线交DE的延长线于F,连结AF。

D为BC的中点,

BD=CD,

又∠EDC=∠ADB,

RtABD≌RtFCD,

CF=AB,且∠BAD=∠CFD,

四边形ABCF为正方形,

BC=CF,且∠ACB=∠ACF=45°。

又EC=EC,

BCE≌FCE,

∠CFE=∠CBE,

∠BAD=∠CBE。

∠BAD+∠ADB=90°,

∠CBE+∠ADB=90°,即BEAD。

总之,教师充分发挥数学美的解题功能,以美造美,加强补美思想在数学教学中的应用,不仅能使学生加深数学美的认识,而且能激发学生的学习兴趣,提高学生的数学审美能力,进而让学生在美感中领悟、探索和发现数学。

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