有限元法在框架优化设计中的应用

【摘要】钢筋混凝土框架结构是我国目前各种建筑类型中使用最普遍的结构形式之一。本文就结构优化理论的发展进程，利用有限元法的分析功能对框架结构进行优化设计，为结构优化分析在实际工程中的应用，节省建筑材料和降低造价，探索一条新的解决问题的途径。

【关键词】有限元；框架；优化设计

有限元法是利用计算机进行运算的一种数值分析方法，它的主要内容包括两部分：一是结构单元分析，即分析杆件单元的力学特性，其二是结构分析，也就是将众多离散的单元集合成全结构单元计算模型，再根据计算模型列出全结构模型的矩阵方程。建筑框架结构形式主要采用梁柱杆件等刚接组合而成为空间体系，它的主要特点是：①约束条件多：从杆件局部尺寸约束到全结构强度刚度约束，从构件单元约束到全结构体系约束，从正常使用状态下的弹性约束到极限状态下弹塑性约束等多特点、多种类的约束条件大大增加了优化方法的难度；②变量参数多：框架结构的构件尺寸、截面类型、受力特征等都可能成为优化设计的变量，再加上框架结构构件超静定受力条件复杂，且相互影响较多，一定程度上导致优化工作量的大量增加。本文利用框架结构杆件截面尺寸作为离散变量，把数学规划法和有限元结构分析法相结合，对框架结构进行优化设计。

1.实体结构的简化要求

正常使用情况下框架结构的受力变形是以弯曲变形为主，本文以框架结构的体积作为目标函数，把结构的截面尺寸做为变量参数。通过施加内外作用力求得各个构件的内力，随后对构件截面进行优化设计。为了详细说明优化方法的特点，先要对框架结构做一些简化：

（1）设定适宜的配筋率：在框架结构中，钢筋的影响是非常大的，因此在目标函数中一定要考虑钢筋的影响，为了简化工作量，我们把构件截面设定适宜的配筋率。本文中结构截面均取2.5%的配筋率。（2）调整参数变量的优化步幅：优化的步幅决定了离散变量最优解偏离精确度的程度，参数变量寻优的速度也和优化步幅的大小有关，因此在寻优过程中各参数步幅必须可调。（3）寻优结果合并规整：有限元优化分析完成后，得到的是众多凌乱不堪的结果，按照这些结果组合而成的是一个杂乱无章的结构，因此后处理过程将对优化结果能合并规整，也就是对每一个优化截面修改和检查其基本结果，最后得到的结构方案应该是截面较为规整，类型少，偏离优化结果近的结构体系。（4）结构分层优化：由于结构荷载及结构自重在各个结构层上都不尽相同，下层承担的荷载比上层多，因此对结构采取分层优化的策略是恰当的。本文的分层优化原则是：上部结构截面尺寸应小于或等于对应下层结构截面，且相对应截面的结构形式保持不变。

2.框架结构优化的有限元分析

2.1前处理

前处理工作主要包含优化参数设置和建模两部分。有限元单元模型必须采用参数化建立，最终的分析结果也必须用参数来提取。因此我们在用参数化建模时，要定义较少的参数数目。本文中我们把框架柱截面尺寸定义成正方形，即柱截面边长设为变量参数；梁截面尺寸定义成矩形，把底面边长作为变量参数，通过高宽比系数确定梁截面高度。我们把结构体系中的结构应力和位移变形定义成状态变量。建好有限元模型后，要先对参数化模型进行布尔运算，使其整个结构合并成为一个参数化模型整体，然后再网格化划分。把结构荷载分别施加在划分网格以后的有限元模型单元上，建立了有限元模型和荷载施加以后并完成边界条件，我们就可以进行有限元分析求解了。

2.2后处理

有限元分析后处理，就是观察和分析有限元运算后的计算结果。为后面的进一步优化分析做准备，此外还要对有限元分析后的运算结果提取并赋值给相应的参数（一般为状态参数、目标函数里面的变量参数），这些操作都在通用后处理器中完成。这一步在整个优化分析过程中是十分重要的，它是整个分析操作过程最为关键和最核心的一步。

2.3优化处理

通常说的优化处理，首先就是进入有限元优化工具箱，指定分析文件。然后明确优化参数变量，也就是指定哪些参数作为目标函数，哪些作为状态变量和设计变量。第二步是选择优化方法，由于要符合《规范》的要求，优化方法只能是使目标函数参数在控制条件下达到极值的分析方法，本文使用数学规划法中离散变量的搜索法优化分析。在分析过程中，优化循环文件会根据有限元分析文件生成，并且循环文件的分析过程对用户是透明的，它在分析循环中应用。优化分析循环完成以后，用相关命令可以查看分析序列。

3.算例

某3层办公楼框架结构，采用C30商品混凝土施工，按照《结构设计规范》进行恒荷载和活荷载以及他们的组合状况加载，建立有限元分析模型，进行优化分析。

本算例取活荷载为3.5KN/m2。采用2.2%的截面配筋率，考虑竖向荷载作用下的静力优化分析。取轴压比为0.85，组合后最大压应力取27MPa；最大位移挠度为10mm。

取初始梁截面尺寸220 mm*600mm，柱采用正方形截面，边长为500mm。分别以梁底边和柱截面边长作为设计参数变量，为减少变量参数的个数，梁高度采用高宽比系数与底边乘积。给定的最大应力和位移挠度作为状态变量的极限条件。框架结构的总体积W即为所求目标函数，柱截面边长L1和梁底宽度L2作为作为设计变量，梁高宽比L2即为梁高。状态变量分别取为轴压比给定的最大应力V和最大静位移S作为极限条件。采用离散变量的优化步幅，取为5mm。最后得出的优化分析结果还要进行尺寸规整，以符合实际工程的需要。本文中设计变量的取值范围为：400mm

先定义参数变量，然后参数化建模，进行有限元分析时，必须把初始值赋给参数变量建立有限元模型，然后进行分析和优化操作。

从上表所得出的结果看出，经过有限元分析优化操作并规整以后，梁柱的总体积为优化前的82.90%。即体积减轻了17.10%。结合配筋率，整个框架结构的造价将大为降低。由此，框架结构优化的有限元分析前景将是广阔的。

参考文献

[1]钱令希.工程结构优化设计.北京：水利电力出版社，1983

[2]康清梁.钢筋混凝土有限元分析.北京：中国水利水电出版社，1996.10

[3]蔡新，郭兴文，张旭明.工程结构优化设计.北京：中国水利水电出版社，2003，10