便捷的函数方法

函数思想和方法重在揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展角度进行思维.

在中学数学中，函数思想方法，主要体现在根据问题的需要，构造函数模型，从而将所给问题转化为函数问题，利用函数的性质（如单调性、奇偶性、周期性、图像、最值等）使问题得以解决.下面就利用函数思想方法解决不等式问题举出两例：

例1 设不等式mx2-2x-m+1

从表面看，这是一个含参数m（-2≤m ≤2）的关于x的一元二次不等式问题，实质上，本题通过变形化为关于m的一元一次不等式，且已知它的解集为[-2，2]，求参数x的取值范围.用分类讨论思想解法如下：

解 原不等式可化为（x2-1）m

（1）当x2-1=0即x=±1时，式①成立的条件是2x-1>0，所以只有x=1.

（2）当x2-1>0，即x1时，由式①得m< 2x-1 x2-1 .

它对一切 m ≤2都成立的充要条件是 2x-1 x2-1 >2.

由此得不等式组 x2-1>0 2x-1 x2-1 >2 解得1

（3）当x2-1

由式①得，m> 2x-1 x2-1 .

它对一切m ≤2都成立的充要条件是 2x-1 x2-1

由此得不等式组： x2-1

综合（1）（2）（3）得 -1+ 7 2

从以上解法看比较繁琐，利用函数思想可非常容易得出结论：

解 设f（x）=（x2-1）m-2x+1（-2≤m≤2）.

当-2≤m≤2时，f（m）=（x2-1）m-2x+1

f（-2）

解得 -1+ 7 2

x的取值范围是 -1+ 7 2 ， 1+ 3 2 .

两种解法对照，显而易见，构造函数法要简明得多.

构造函数法，揭示了两个变量之间的本质联系.即函数f（x）=（x2-1）m-2x+1当自变量m在[-2，2]上取值时对应的函数值f（m）都小于零（函数图像在x轴下方）.依据一次函数的单调性，只要m取两端点值时函数值f（2）和f（-2）小于零，即满足题意，所以解不等式组

即得出结论.

例2 不等式x3- 1 2 x2-2x+c

这是一个求不等式中参系数问题，我们可通过构造函数，利用函数性质，将不等式转化得出结论.

解 原不等式即为

x3- 1 2 x2-2x

设f（x）= x3- 1 2 x2-2x.

题目即为当x∈[-1，2]时，f（x）= x3- 1 2 x2-2x

f′（x）=3x2-x-2=（x-1）（3x+2）.

由f′（x）=0得x=1或x=- 2 3 .

当x变化时，y′，y的变化情况如下表：

使得f（x）= x3- 1 2 x2-2x2解得c2.

c的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）.

两个例题，从表面看是两个不同题型，但均可采用函数思想解答.因为两个问题都反映两个变量间关系.例1是已知不等式中参系数m的取值范围，求变量x的取值范围，将问题转化为已知函数定义域与函数值域，求待定系数x，不等式化归为关于m的一次函数，利用一次函数单调性得解；例2是给定不等式中变量x的取值范围，求参系数c的取值范围，化归为函数后，求出函数在定义域内的最大值得关于c的不等式，使问题得到解决.

函数思想方法的应用十分广泛，在此只列举了两个含参数的条件不等式.利用函数思想将不等式化归为函数，然后利用函数的单调性，最值来处理，使问题解得简洁、明快、易懂.函数的伟大就在于此.