对定理L′Hospital(洛必达)法则的修改

【摘要】 《高等数学》中求不定型 0 0 和 ∞ ∞ 的极限而引用的定理L′Hopsital法则，从定理本身来看，由于有了条件（1），条件（2）中的g′（x）≠0是肯定的、重复的.

【关键词】 定理（L′Hopsital法则）；质疑；证明；修改

高等数学中对于求不定型 0 0 和 ∞ ∞ 的极限，引入了定理L′Hopsital法则.法则如下：

1.当xx0时的不定型 0 0 的情形

定理 设函数f（x），g（x）在x0的去心邻域内可导，且

（1）lim xx0 f（x）=lim xx0 g（x）=0；（2）g′（x）≠0；（3）lim xx0 f′（x） g′（x） =A（A为常数或∞）.

则lim xx0 f（x） g（x） =A，也就是说lim xx0 f（x） g（x） =lim xx0 f′（x） g′（x） .

质疑： 条件（2）中的g′（x）≠0是肯定的、重复的.

证明 反证法

若g′（x）=0.由条件函数在x0的某去心邻域中除点x0外可导，则在区间（a，x0）中有g′（x）=0，则由Lagrange微分学中值定里的推论可知，g（x）=C.

显然，C≠0.而lim xx0- g（x）=C≠0 与条件（1）中lim xx0 g（x）=0矛盾.

故g′（x）=0不成立.证毕.

2.当xx0时的不定型 ∞ ∞ 的情形

定理 设函数f（x），g（x）在x0的去心邻域内可导，且

1 lim xx0 f（x）=lim xx0 g（x）=∞；（2）g′（x）≠0；（3）lim xx0 f′（x） g′（x） =A（A为常数或∞）.

则lim xx0 f（x） g（x） =A，也就是说lim xx0 f（x） g（x） =lim xx0 f′（x） g′（x） .

质疑 条件（2）中的g′（x）≠0是肯定的、重复的.

证明：反证法.

若g′（x）=0.由条件函数在x0的某去心邻域中除点x0外可导，则在区间（a，x0）中有g′（x）=0，则由Lagrange微分学中值定里的推论可知，g（x）=C.而由lim xx0- g（x）=C≠∞与条件（1）中lim xx0 g（x）=∞相矛盾.故g′（x）=0不成立.证毕.

因而，此定理可修改为：当xx0时的不定型 0 0 的情形.

定理 设函数f（x），g（x）在x0的去心邻域内可导，且

（1）lim xx0 f（x）=lim xx0 g（x）=0；（2）lim xx0 f′（x） g′（x） =A（A为常数或∞）.则lim xx0 f（x） g（x） =A，

也就是说lim xx0 f（x） g（x） =lim xx0 f′（x） g′（x） .

证明： 首先 g′（x）≠0，反证法.

若g′（x）=0.由条件函数在x0的某去心邻域中除点x0外可导，则在区间（a，x0）中有g′（x）=0，则由Lagrange微分学中值定里的推论可知，g（x）=C.

显然，C≠0.而lim xx0- g（x）=C≠0与条件（1） 中lim xx0 g（x）=0矛盾.

故g′（x）=0不成立.

补充定义f（x0）=0，g（x0）=0，则函数f（x），g（x）在x0连续，在x0的邻域内任取x，在[x0，x]或[x，x0]上应用柯西定理，有

f（x）-f（x0） g（x）-g（x0） = f′ ζ g′ ζ 其中 ζ在x0和x之间，于是当xx0时ζx0，上式即成为lim xx0 f（x） g（x） =lim xx0 f（x）-f（x0） g（x）-g（x0） =lim xx0 f′ ζ g′ ζ =lim xx0 f′（x） g′（x） =A.

证毕当xx0时的不定型 ∞ ∞ 的情形.

定理 设函数f（x），g（x）在x0的去心邻域内可导，且

1 lim xx0 f（x）=lim xx0 g（x）=∞，（2）lim xx0 f′（x） g′（x） =A（A为常数或∞）.

则lim xx0 f（x） g（x） =A，也就是说lim xx0 f（x） g（x） =lim xx0 f′（x） g′（x） .

证明 （略）

对于x∞等情形，只需将定理（2）中的g′（x）≠0去掉即可.