高考数学三角函数题的解答策略

【关键词】 数学教学；三角函数；解答策略

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C

【文章编号】 1004―0463（2016）03―0122―01

三角函数是高中阶段继指数函数、对数函数之后的又一具体函数，这部分知识公式多、内容丰富、变化灵活、渗透性强.通过对这几年高考试题的分析可知，该部分在试卷中一般是2～3个选择题或者填空题，一个解答题：选择题是有针对性地考查本专题的重要知识点；解答题一般有三个命题方向，一是以考查三角函数的图象和性质为主，二是把解三角形与三角函数的性质、三角恒等变换交汇，三是考查解三角形或者解三角形在实际问题中的应用。笔者认为，具体解答时，熟练掌握以下解题策略，将有助于提高我们灵活解决考查这部分知识的习题的能力.

策略一：数形结合的思想

例1 试求函数f （θ）=+的最小值.

分析：本题难度较大，用一般方法不易求解，且过程十分繁琐，于是考虑能否将 “数”转化为“形”.

解：利用1=cos2θ+sin2θ可将函数变形为

f （θ）=+=x+y

则x为点M（cosθ，sinθ）到点P（1，1）的距离，y为点M到Q（-1，0）的距离，而点M（cosθ，sinθ）显然为单位圆上的动点，故求f （θ）的最小值问题可以转化为求单位圆上的动点M到两定点P、Q的距离和的最小值，结合右图易知： MP+MQ≥.

策略二：换元的思想

例2 已知sinθ-cosθ=，求sin3θ-cos3θ的值.

解：设sinθ=a，cosθ=b，于是a2+b2=1，a-b=.

（a-b）2=a2+b2-2ab=?ab=.

sin3θ-cos3θ=a3-b3=（a-b）（a2+b2+ab）=×=.

策略三：分类讨论的思想

例3 已知-≤β

解：-≤β

0≤2sin2β

即3sin2α-2sinα≥0

3sin2α-2sinα-1

y=sin2β-sin2α=（3sin2α-2sinα）-sin2α

=（sinα-）2-

当sinα∈[，1）时，y是增函数.当sinα=时，ymin=-.

当sinα∈（-，0]时，y是减函数.当sinα=0时，ymin=0.

综上，函数y=sin2β-sin2α的最小值为-.

策略四：化归与转化的思想

例4 化简sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos2αcos2β

解法一：从“角”入手，复角化单角

原式=sin2αsin2β+cos2αcos2β-（2cos2α-1）（2cos2β-1）

=sin2αsin2β+cos2αcos2β-（4cos2αcos2β-2cos2α-2cos2β+1）

=sin2αsin2β-cos2αcos2β+cos2α+cos2β-

=sin2αsin2β+cos2αsin2β+cos2β-

=sin2β+cos2β-=.

解法二：从“名”入手，异名化同名

原式=sin2αsin2β+（1-sin2α）cos2β-cos2αcos2β

=cos2β-sin2αcos2β-cos2αcos2β

=cos2β-cos2β（sin2α+cos2α）

=（1+cos2β）-cos2β（+）=.

解法三：从“形”入手，采用配方法

原式=（sinαsinβ-cosαcosβ）2+2sinαsinβcosαcosβ-cos2αcos2β

=cos2（α+β）+sin2αsin2β-cos2αcos2β

=cos2（α+β）-cos（2α+2β）=.

策略五：构造模型的思想

例5 化简sin2α+sin2β+2sinαsinβcos（α+β）.

分析：因所给三角函数表达式与余弦定理有类似的形式，故可考虑构造外接圆直径2R=1的三角形ABC，其中A=α，B=β，C=180°-（α+β）.

在ABC中用正弦定理与余弦定理，得：

sin2α+sin2β+2sinαsinβcos（α+β）=sin2（α+β）