重庆中考一道几何综合题多解研究

2题目：已知，如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过点M作MECD于点E，∠1=∠2.

（1）若CE=1，求BC的长；

（2）求证：AM=DF+ME.

解析：本题以菱形ABCD为基础图形，把直角三角形、等腰三角形有机地组合在该图形上，考查学生对菱形性质、等腰三角形的判定与性质和直角三角形的性质的综合运用.

此题的第一问求BC的长，有三条思路：其一，先求出ED，再求出CD=BC；其二，先求出CE=CF，再求得BC；其三，利用CE所在的直角三角形BEC，求得BC.

此题的第二问证明AM=DF+ME，证明线段和差问题，显然，用接长法或截短法证之，不管用哪种方法都必须添加辅助线，即可以在两条短线段上的两端接长，又可以在长线段上的两端向内分别截短.由此可见：此题突出的是考查学生添加辅助线的能力.这里应指出的是：∠1=∠2可以去掉，命题仍然成立，只不过给证明增加了难度，还需要添加辅助线.下面就分别研究两问的多种解证方法.

1.求BC的长

图1解法1：如图1，连结BM，延长DF交AB的延长线于G，过点A作AHCD的延长线于H.

因为∠BEH=∠EHA=∠HAB=90°.

所以四边形ABEH是矩形，

因为过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，

所以B、M、E三点共线，

因为DC∥AG，所以DME∽GMB，CME∽AMB，

所以CE1AB=EM1MB、ED1BG=EM1MB，所以CE1AB=DE1BG，

易证CFD≌BFG，所以CD=BG=AB，

所以CE=ED=1，所以CD=CE+DE=1+1=2.

所以BC=CD=2.

图2解法2：如图2，连结BD交AC于O.连结BM并延长BE与AD延长线相交于N，过点A作AHCD的延长线于H.

因为CB∥NA，所以CMF∽AMD，BMF∽NMD，所以CF1AD=FM1MD，BF1ND=FM1MD，所以CF1AD=BF1ND，因为CF=BF，所以AD=ND，又因为∠ADH=∠NDE，∠AHD=∠NED.所以AHD≌NED，所以DH=ED，由解1知B、M、E三点共线，AH=BE，∠AHD=∠BED=90°，

所以AHD≌BED，所以AD=BD=AB.

所以ABD是等边三角形，所以∠BAD=60°，

所以∠ACD=∠BAC=30°，易证BFD≌CFD，

因为∠BCD=60°，所以∠CDF=30°，所以∠MCD=∠MDC，

所以MCD是等腰三角形，因为MECD，

所以CE=ED=1，所以BC=CD=2.

解法3：如图2，由解法2知BCD是等边三角形，因为DF是DBC底边BC的中线.所以MFBC.又MECD，且AC是∠BCD的平分线，所以MF=ME，∠FCM=∠ECM，∠CFM=∠CEM，所以CFM≌CEM，所以CF=CE=1，所以BC=2CF=2.

解法4：如图2，由解法1知B、M、E三点共线.由解法2知BCD是等边三角形.

因为BECD，所以BEC是直角三角形，

因为∠BCE=60°，所以∠CBE=30°，所以CE=112BC，

因为CE=1，所以1=112BC，所以BC=2.

解法5：如图2，由解法4知BEC是直角三角形，

由法2知∠BCE=∠BAD=60°，

所以在RtBEC中，CE1BC=cos∠BCE=cos60°=112，

所以11BC=112，所以BC=2.

2.证明AM=DF+ME

图3证法1：如图3，连结BM，延长DF与AB的延长线相交于点G.

由解1知B、M、E三点共线.所以BECD，易证CFD≌BFG，所以CD=BG=AB，所以BE是AG的中垂线，所以MA=MG.

因为MG=FG+MF，FG=DF，由解法3知MF=ME，所以AM=DF+ME.

证法2：如图3，由解2知∠MCD=∠MDC，

因为CD∥AG，所以∠ACD=∠CAG，∠MDC=∠DGA，

所以∠MAG=∠MGA，所以AM=GM.

以下证法同证法1.

图4证法3：如图4，延长FD与垂直AB的线段AK相交于K，CD的延长线交AK于H.

在RtMED中，由解法2知∠MDE=30°，

所以∠DME=60°，因为ME∥AK，

所以∠HKD=∠DME=60°，因为KAAB，

所以∠BAK=90°，所以∠DAK=90°-∠BAD=90°-60°=30°，

又因为∠MAD=112∠BAD=30°，

所以∠MAK=∠MAD+∠DAK=60°.

所以∠MAK=∠MKA=60°，所以∠AMK=60°，

所以MAK是等边三角形，所以AM=AK.

因为∠CDF=∠DAH=30°，∠DCF=∠ADH=60°，

CD=AD，所以CDF≌DAH，所以DF=AH，

由解法2知ED=DH，∠EDM=∠HDK，

∠MED=∠KHD=90°，所以EDM≌HDK，所以ME=HK，

所以AM=AH+HK=DF+ME.

图5证法4：如图5，连结BM并延长BE与AD的延长线相交于N，连结BD.

由解法1知B、M、E三点共线.

因为CB∥NA，所以CMF∽AMD，BMF∽DMN，所以CF1AD=FM1MD，BF1ND=FM1MD，所以CF1AD=BF1ND，因为CF=BF，所以AD=ND，易证BFD≌CFD，所以∠CFD=∠BFD，因为∠CFD+∠BFD=180°，所以∠CFD=∠BFD，所以DFBC，因为BC∥AN，所以DFAN，因为FD是AN的中垂线.

所以MA=MN，因为DN=CD，∠EDN=∠FCD=60°.所以∠DNE=∠CDF=30°，所以DNE≌CDF，所以NE=DF.

所以AM=MN=DF+ME.

图6证法5：如图6，过点A作AGAD交MB的延长线于G、交CB的延长线于H.

由解法1知B、M、E三点共线，

因为∠BAG=90°-∠BAD，

由解法2知∠BAD=60°，

所以∠BAG=90°-60°=30°.

由解法2知∠BAC=30°，所以∠MAG=∠BAC+∠BAG=60°，

由证法3知∠DME=60°，易知FD∥GA，所以DME=∠MGA=60°，所以MAG是等边三角形，所以MA=GA=AH+HG.易证RtAHB≌RtDFC.所以AH=DF，

因为BH=CF=FB，∠GBH=∠MBF，∠HGB=∠DME=∠FMB，所以HGB≌FMB，所以HG=MF.

由解法3知MF=ME，所以HG=ME.

所以MA=DF+ME.

图7证法6：如图7，在AM上截取AO=DF，连结DO.因为AO=DF，AD=DC，由证法2知∠DAO=∠CDO=30°，所以DAO≌CDF，所以DO=CF.

由解法3知MF=ME，

所以DO=CF=CE=DE，DM=DM.

由解法2和∠EDM=ODM=30°，

所以DEM≌DOM，所以ME=OM，

所以AM=AO+OM=DF+ME.

证法7：如图7，在MA上截取MO=ME，连结DO.

因为OM=ME，由解法3知MF=ME，所以OM=FM，

由解法2知MD=MC，∠OMD=∠FMC，所以OMD≌FMC，

所以OD=FC，又AD=CD，∠ODA=∠FCD=60°，

所以AOD≌DFC，所以AO=DF.

所以，AM=AO+OM=DF+ME.