一道高考题赏析

一道高考题赏析

【摘要】以一道典型的高考试题为载体研究解题，通过一题多解，总结出解题的思路和方法，解题的目的不只是为了获得答案，而是从解题过程中，发展思维能力，提高数学素养.

【关键词】一题多解；向量；数形结合；发展思维；提升方法

一、一题多解

本题是以三角形为载体，以向量为背景的定值问题，由于平面向量是数形结合在一起的，是代数、平面几何、三角函数、解析几何等知识的交会点，因而解决此类问题主要是根据向量的数和形的双重特征，并以此为切入点寻求已知与未知之间的内在联系，探究解题的思路与方法.

解法7本题的本质是A点在以M点为圆心，AM为半径的圆周上运动时AB・AC为定值，当点A无限接近A′点时，AB・AC=-16.

二、解法赏析

解法1的思路是利用向量的两条基本法则：平行四边形法则和三角形法则对已知条件进行列式，两式平方后通过整体消元的思想得到所求的解.这种解法需要敏锐的观察力.

解法2的思路是已知①的情况下如何求出AB2+AC2的和，这时如果知道有中线定理，求出AB2+AC2的和，结合①或②式，那么AB・AC的值就迎刃而解了.但这种解法对平面几何知识的掌握要求比较高.

解法3的思路是利用余弦定理先列出求AB2与AC2的两个等式，利用∠AMB与∠AMC互补，求出AB2+AC2的和，然后结合①或②式，求出AB・AC的值，这是一种基本的解法.

解法4的思路是所求解中的两个向量用不共线的两个已知量来表示，通过两个向量的乘积直接得到结果.这种方法简捷，但思维要求比较高.

解法5的思路是利用内积公式的定义来求解，想法自然，但求法不易，需要有良好的平面几何知识，这种做法综合考查了考生的逻辑思维能力、数学素养和数学潜能.

解法6的思路是通过向量坐标化来处理，这种做法想得自然，做得方便，只是不同的建系对解题繁简有一定影响.

解法7的思路是找出A点的运动轨迹，即揭示了本题的数学本质，只要在运动轨迹上A点无限地接近A′点，本题就得解了.但这种做法需要有很高的数学素养，能看到数学的本质，对考生的要求很高.

以一道典型的高考试题为载体研究解题，通过一题多解，总结出解题的思维和方法，解题的目的不只是为了获得答案，而是从解题过程中，发展思维能力，提高数学素养.从解题的角度来看，由题设给出的信息从不同的角度切入，不同的考生运用不同的方法均可求解，有繁有简，有的解法能使解题更为合理、便捷，反映出不同的思维层次，体现了差异性和选择性，具有较好的区分度.

本题的出彩之处还表现在平面向量与代数、平面几何、三角函数、解析结合等知识的交会处命题，考查了考生对教材中相应内容的掌握情况.这类试题看似相识，但又不同，题型源于课本而高于课本，紧密贴近中学数学的教学实际，贴近W生的学习实际，体现高等学校招生的公平、公正.

【参考文献】

[1]孙玉英，于兴江.探究引申剖析启示――一道高考题的赏析[J].中学数学研究，2013（10）：8-9.

[2]黄天星.赏析一道高考题的五种解法[J].福建教育，2015（5）：55-57.