“几何直观”在数学教学中的运用

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在十大核心概念中指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习中都发挥着重要作用。”为此，作为一线教师有必要深入领会“几何直观”的内涵和作用，思考在教学中如何去运用“几何直观”。

一、明确“几何直观”的内涵

“几何直观”作为数学学习的一个重要思想和思维方法，在数学教学和数学学习中有着广泛运用。为此，要明确“几何直观”中所指的“几何”，不仅仅是几何图形，还可以是运算符号、方框、箭头等直观符号组合表示的图示语言，甚至用文字、符号、字母等表示出来的数量关系式都可以看成是“几何直观”。用这种图示语言可以简明直观地表示数量关系，有助于探索解决问题。同时也要明确“几何直观”中所指的“直观”，不仅仅是直观地再现问题情境，而应该是经过概括、提炼，使问题情境数学化、抽象化，具有既形象具体又简单抽象双重特点的直观，只有这样的“直观”才能凸显问题中的数量关系，有助于探索解决问题。

二、懂得“几何直观”的作用

“几何直观”作为一种数学思维方法，在不同年级解决不同类型的问题中都能发挥很好的作用。

1.借助“几何直观”分析题意。

在低年级教学中，有些较复杂的实际问题可借助“几何直观”帮助学生分析，理解题意。如，“妈妈买来一些苹果，第一天吃了一半，第二天又吃了剩下的一半，盘里还剩下3个，妈妈原来买了多少个苹果？”教学时，教师可以用如图1所示的图形来表示问题意思，帮助学生理解题意。

图1

有了这个直观图形的支撑，学生很容易就能推算出原来苹果的个数：3×2=6（个），6×2=12（个）。教师要有意识引导学生学会看懂图示语言，体会示意图既简洁又形象的特性，能为解决问题提供清晰的思路，让学生产生对图示语言的好感和画图的愿望，培养学生运用“几何直观”的意识。

2.借助“几何直观”解决植树问题。

一位教师教学“植树问题”时，先借助直观图形进行分析，并从图形中归纳总结出一般的解题方法。即先让学生在纸张上模拟植树，得出在一条直线上植树的三种情况。

用“ ”代表间隔，用“＼”代表一棵树，画“＼”就表示种了一棵树。让学生在这段路上种上6棵树，想想、做做，你能有几种种法？

先让学生动手画一画，独立完成，然后在小组内交流，再指名汇报。

根据学生的汇报，整理成如图2所示的三种情况：

①＼ ＼ ＼ ＼ ＼ ＼ 两端都种

②＼ ＼ ＼ ＼ ＼ ＼ 或 ＼ ＼ ＼ ＼ ＼ ＼ 一端种

③ ＼ ＼ ＼ ＼ ＼ ＼ 两端都不种

图2

使学生感悟到棵数与间隔数的关系。两端都种：棵数＝间隔数+1；一端种：棵数=间隔数；两端都不种：棵数=间隔数-1。这样，借助几何直观，抽象出数量关系，从而提高学生分析和解决问题的能力。

3.借助“几何直观”解决图形问题。

例如，“岑兜中心小学原来有一个长方形操场，长60米，宽40米。扩建校园时，操场的长增加了20米，宽增加了10米。操场的面积增加了多少平方米？”这个问题不画示意图，学生容易理解为增加的面积是20×10=200（平方米）。画出如图3的示意图后，学生就能清楚地看到，增加的面积不是一个长方形，而是一个“L”形，要知道“操场的面积增加了多少平方米？”就得把“L”形的图形分割成几个长方形来求增加部分的面积。

图3

4．借助“几何直观”解决分数实际问题。

如，人教版六年级上册“用分数乘法解决问题”有一道题为：“人心脏跳动的次数随年龄而变化。青少年心跳每分钟约75次，婴儿每分钟心跳的次数比青少年多■。婴儿每分钟心跳多少次？”其规范线段图如图4所示。

图4

有位教师组织教学时，先让学生自由画图，再展开交流。

师：先画什么？

生：先画表示青少年心跳次数的线段，表示单位“1”。

师：先画出第一条线段。（教师画）

师追问：接下来怎么画呢？

当学生回答“再画表示婴儿心跳次数的线段”时，许多学生觉察到“应先画与第一条线段同样长的线段，再画多出部分”。随后，教师还不罢休，继续问道：“多出部分怎么画？由此有力地诠释了■的数学意义。通过直观线段图的分析，学生充分领会了“用分数乘法解决问题”的基本思路。此后，线段图便能作为一种有效工具，帮助学生解决相关的数学问题。

5.借助“几何直观”解决倒推问题。

利用“倒推法”解决实际问题时，教会学生画示意图来分析题意尤为重要。如，“小明原来有一些邮票，今天又收集了24张，送给小军30张后，还剩52张。小明原来有多少张邮票？”可将摘录的信息图5所示的推导图来表示信息间的联系。

原有？张又收集24张送给小军30张还剩52张

原有？张去掉24张跟小军要回30张还剩52张

图5

用箭头标出“倒推”的思路，学生更容易理解和掌握“倒推”的方法。

总之，“几何直观”作为《义务教育数学课程标准（2011年版）》新增的核心概念，是学习数学知识和解决数学问题常用的方法，让学生养成用图形、符号语言的直观方法来分析问题、解决问题的习惯，对提升学生的能力和数学素养有着极其重要的作用。