原创中考压轴题

中考“压轴题”承载各地中考试卷的区分功能，近年来，各地投入很大的精力在压轴题的设计、打磨上，如果同学们认真解读每份考卷上的压轴题，都能有所悟、有所得. 为了引导广大备考师生研究、冲刺压轴题，我们特邀刘东升老师精心编拟了6道原创中考压轴题，希望能给大家一些启发.

原创题1如图1，抛物线y=x2+bx+c的顶点为M，对称轴是直线x=1，与x轴的交点为点A（-3，0）和点B． 将抛物线y=x2+bx+c绕点B按逆时针方向旋转90°，点M1，A1分别为点M，A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．

（1）写出点B的坐标以及抛物线y=x2+bx+c的解析式.

（2）求证A，M，A1三点在同一直线上.

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原创题2如图2，抛物线y=a（x+2）2+k与x轴交于A，O两点，将抛物线向上平移4个单位长度后得到一条新抛物线，它的顶点在x轴上，新抛物线上的D，E两点分别是A，O两点平移后的对应点． 设两条抛物线、线段AD和线段OE围成的图形的面积为S，P（m，n）是新抛物线上的一个动点，且满足2m2+2m-n-w=0．

（1）求新抛物线的解析式.

（2）当m=-2时，点F的坐标为（-2w，w-4），试判断直线DF与AE的位置关系，并说明理由.

（3）当w的值最小时，求AEP的面积与S之间的数量关系．

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原创题3 如图3，反比例函数y＝与直线y＝-x+2只有一个公共点P，称P为切点．

（1）若反比例函数y＝－与直线y＝kx＋6只有一个公共点M，则请求出当k＜0时两个函数的解析式和切点M的坐标.

（2）设（1）问结论中的直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，将∠ABO沿折痕AB翻折，设翻折后的OB边与x轴交于点C．

① 直接写出点C的坐标.

② 在经过A，B，C三点的抛物线的对称轴上是否存在一点P，使以P，O，M，C为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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原创题4 问题背景在RtABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC为底边向三角形ABC的外侧作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，且ADAC， AEAB，连结DE，交AB于点F，试探究线段FB，FA之间的数量关系．

探究策略 ①小明是这样思考的：如图4，当∠BAC=45°时，作EGAC交AB于点G，则FA=FG.

②小颖是这样思考的：如图5，当∠BAC=30°时，作DG∥AE交AB于点G，则FA=FG．

任务要求 （1）小明、小颖的判断正确吗？说明理由.

（2）请选择图4至图6中的一个来探究线段FB，FA的数量关系，并说明理由．

（3）小明、小颖继续研究图6，结果发现以下两个结论：①cos∠BAC=；②AD2－AE2=AB2．请你选择其中之一进行证明．

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原创题5 已知二次函数y=mx2与一次函数y=mx-2，点M（1，-1）在直线l：y=mx－2上，点P的坐标为（p，p-2）．

（1）试求出两个函数的解析式，并在平面直角坐标系下画出这两个函数的图象.

（2）过点P作x轴得平行线交（1）中抛物线于A，B（点A在点B左侧），当p为何值时，AMP为等腰直角三角形？说明理由.

（3）将（1）中抛物线绕原点逆时针旋转90°后，过点P作y轴平行线交旋转后的抛物线于C，D两点（点C在点D上方），当PD=CD时，求四边形PDOM的面积．

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原创题6 在平面直角坐标系xOy中，A，B为反比例函数y=（x>0）图象上的两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，将y=（x>0）的图象绕原点O按顺时针方向旋转90°，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′．

（1）求旋转后图象的解析式.

（2）求A′，B′的坐标.

（3）连结AB′，动点M从点A出发沿线段AB′以每秒1个单位长度的速度向终点B′运动；动点N同时从B′点出发沿线段B′A′以每秒1个单位长度的速度向终点A′运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t s，试探究：是否存在使MNB′为等腰直角三角形的t值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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