分形理论在高校课改的成功尝试

摘要：杨社平教授以分形理论服务高校课程改革，践行“立德树人”。分形理论是几何学的分支学科之一，近年来发展迅猛，广泛应用于自然社会科学的各个领域。从分形理论的应用新领域、结构建导新工具、本土研究新探索三个方面，展现分形课改的新意。吸引子是课程纲要的活力所在，自相似是教材内容的突出特点。迭代是课程生成的重要法则，以“习”“研”“演”“练”的教学模式畅通迭代节点，靠“趣”“情”“励”“合”的教学策略稳定迭代结构，最终才能落实分形课改的主张。通过分形理论仿射效应，教学团队连理，多科课程辉映。由此可见，课程改革卓有成效，卓尔不群。建言课程改革还可从混沌现象和混沌理论汲取养分，踵事增华。

关键词：分形理论;高校课程改革;民族理论与政策;杨社平

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）45-0086-04

今天，“立德树人”已成为中国教育的根本任务，学者们投身高校课程改革实践，努力为国家培养人才。广西民族大学的杨社平教授是一位推进高校课程改革的先行者，她的《课改分形论：跨学科参与一门部级精品开放课程建设的边缘心语》一书，以分形理论为特色，详细阐述民族高校独有的公共政治课程――“民族理论与政策”改革的方法，生动体现分形理论推动跨学科课程改革的仿射效应，努力开辟一条“立德树人”课程改革的崭新路径。

分形理论是几何学的分支学科之一。最早是由美国数学家本华・曼德博提出，他撰写的论文《英国的海岸线有多长》初涉分形思想;1975年他正式创立分形几何学;1982年由他出版《大自然的分形几何学》，“彻底改变人们对分形的认识”。现在这个自然科学的理论服务高校课程改革，既符合规律：“科技发展的新理论、新思路、新观点、新方法不断地冲击着高等学校的课程改革”，又使得高校课程改革“无论在内容上和形式上都有所创新”。

一、分形课改的创新意义

1.分形理论新应用。分形思想由来已久，可以追溯至17世纪德国数学家莱布尼茨的“回归自相似”概念。20世纪初受到数学界的广泛关注，包括the Sierpinski Gasket，the Koch Curve，柯克曲线等。但是，分形思想真正上升到理论高度，离不开曼德博的深入研究。他指出：分形的概念是“组成部分以某种方式与整体相似的形称为分形”;然而，有人认为，分形具有不规则的精细结构;形状或者统计意义上的自相似形式;和迭代生成的性质。自相似形式是化繁为简，拼贴复杂形体的前提认识;迭代则是复杂形体的生成法则;仿射则是复杂形体多维存在的可能。正是因为分形理论化繁为简，它不局限于复杂几何形体的描述，也可“将由信息、功能、能量、时间等‘量’构成的具有自相似的对象称为分形行为”，及时跟踪事物发展进程，颠覆人们传统平面或立体的思维。分形理论在近三十年来发展迅猛。但在社会科学领域罕有建树。杨社平教授把分形理论引入课程变革实践，拓展分形理论的应用领域，通过利用自相似性、迭代性以及仿射性，揭示复杂分维现象的成因，归纳复杂课程改革之后的数学逻辑。

2.结构建导新工具。以分形理论实现课程建导，受到结构主义思潮的影响。结构主义应该不是艺术流派宣扬的Structurism，而是“（一定的）结构支配并决定着一切社会现象的性质和变化”。课改理论使用的工具，往往是瑞士心理学家皮亚杰的认知发展理论和美国心理学家布鲁纳的学科“普遍性”理论。这两种理论，前者强调以人为课程变革的中心，初步建构人的认知结构;后者强调以学科自身为课程改革的中心，从学科的结构入手，掌握学科基本的概念、定理和范畴，知识迁移。

然而，分形理论是结构建导新工具。从简单结构出发，批判地吸收认知心理和具体学科的优势，打通心理和学科的双向轨道，你中有我，我中有你，不断调整，适度迭代，克服了课程冲突的可能。因为，以认知心理为中心，过于把课程看作是一种目的，预计教学活动的可能结果，并以此为评判标准，一切以达到结果为要旨，教学成为实现结果的策略;以学科为中心，过于把课程看作是一种手段，强调实施的过程和过程本身的价值。分形理论成为结构建导新工具还体现在开放性和灵活性。它可以描述各种非线性系统：记录动力系统的变形，测度布朗运动的手段，把握多重分形的迷惑等。既然不怵动态，随机和重合的各种可能，分形理论的灵活性可见一斑。开放和灵活使得结构建导不会僵化。

3.本土研究新探索。课程改革扎根本土。本土化现实在“民族理论与政策”课程改革真正下移到县情和市情。没有宏观层面的高谈阔论，没有微观层面的锱铢必较，从中观出发，从县市各民族实际出发，为政策铺垫事实依据。如以专题调研报告成书的《隆林各族十二和》，基于分形理论，图文并茂地呈现各族团结，佐证“十二条”的切实性。如以百色市民族实际编写的《五彩七韵十二和》，基于分形理论，“解读中国特色社会主义民族理论政策体系”，丰富教学资源。突出本土特征，丰富立德树人的内涵。有人说，社会主义核心价值观是具体的德目;有人说：“确立起马克思主义的立场，形成社会主义核心价值观，具有社会公德、职业道德、家庭美德和个人优良品德”;还有人说：“培养具有民族情怀、祖国情结、社会意识、人文素养与发展潜能的学生”。而在杨社平老师看来，立德树人就是和谐素质的培养。和谐素质包括自然与人、人的自身、人际之间、人与社会和人与国家五个范畴。这五个范畴以人为本，通过人与自然、人、社会和国家等各要素的关系替代要素本身意义，弥补各种不足。

二、课程组织的自相似性

1.课程纲要的吸引子。吸引子是非线性耗散系统的重要概念，也是系统存在分形的充分条件。“一个吸引子就是一个集合并且使得附近的所有轨道都收敛到这个集合上”。非线性耗散系统是一个开放的系统，在交换过程完成后达到稳定，交换过程中的无规运动会趋向吸引子，进而产生分形。“民族理论与政策”的课程改革也可以看为一个非线性的耗散系统，课程改革的过程中，难免会出现非线性、随机性和耗散性的局部特征。既然如此，这门课程纲要的吸引子又是什么呢？即中国特色社会主义民族理论政策体系“十二条”，这是第四次中央民族工作会议中确认的。它们高度概括民族范畴，深刻点明民族问题，充分展现解决民族问题的战略思想。“十二条”就是十二个不同的吸引子，或者说是十二个不同的集合，吸引集合内的所有轨道，巧如大唐雅乐“孝孙十二和”――豫和、顺和、永和、肃和、雍和、寿和、太和、舒和、昭和、休和、正和、承和。依据十二个不同的集合，注入广西壮族自治区的民族实情，条分缕析，逐一解读“十二条”的具体内容。

2.教材内容的自相似。既然曼德博的定义点明“自相似”，“自相似则应是分形所必要的条件和一种普遍的特征”。再从吸引子的概念梳理，“自相似”体现在各个与整体相似的吸引子的关系中。“民族理论与政策”课改的自相似，反映在教材内容上面。《民族大义十二和建导纲要》是广西民族大学“民族理论与政策”必修课，教材各个板块和板块内部的章节都彰显自相似。全书分为四大板块：“焦点指月谈”“诸和三棱镜”“乡土万花筒”和“建导情趣园”，板块中深入拓展“十二条”内容。“焦点指月谈”阐述理论，“逐一解读‘十二条’的基本内容”，指月，典于《楞严经》，喻意莫因“指”而失“月”，莫由“教”而亡“法”，“月”和“法”均代指民族政策的精粹。“诸和三棱镜”聚焦前沿，反省过去政策的历程，思索未来理论的走向。“乡土万花筒”联系实际，以广西12个市居民族概况，本土的实际情况，更好地认识中国特色社会主义民族理论。“建导情趣园”反馈教学，内化理论，契合“十二条”要义，由学生自主打造得意作品，记录成长过程。板块内部再次分形，以“焦点指月谈”为例，又分为“民族原理”“国是定理”“关系调控”和“发展对策”四章，丰富理论内容。

三、课程生成的迭代法则

迭代是重复过程以达到结果或预定目标的行为，分形理论离不开迭代的存在，有人甚至数学证明了柯克曲线的迭代。通过证明过程，可以看出迭代离不开精确的节点和稳定的结构。只有畅通迭代节点，稳定迭代结构，才能落实分形课改的主张。

1.畅通迭代节点。畅通的迭代节点是下一次迭代的有利条件。例如，函数f（x）=x2+2，求f {f[f（1）]}的值。f（1）=3;f（3）=11;f（11）=123，三次迭代f {f[f（1）]}的值是123。若第一步迭代数值计算错误，f（x）=2，最终结果变成38，相差甚远。可见，每个迭代的节点需要畅通，否则经过几轮迭代，云泥之别显而易见。在“民族理论与政策”课程改革中，“习”“研”“演”“练”的教学模式帮助学习者畅通各个迭代节点。①习得。“习得”是课程改革的起点，它更强调的是学习者内化知识的整个过程而非最终结果。课程改革应是一个非线性耗散系统，这个系统决定了“习得”不可能一蹴而就、伸手得到，而必须历经批判再批判、否定再否定的螺旋式发展。正是如此，我们应该培养动态的眼光，摆脱静态预设的束缚，在动态中审视“习得”的过程，在动态中对所获“习得”做出恰当的判断。一切僵化的教学反馈，都很容易贻误迭代的最佳时机。②研讨。“研讨”是在“习得”基础上的纵向深化。“研讨”应找准靶子，对准目标，有的放矢。以不同教材中的概念、定义或结论为靶子，通过剖析对比和联系实际的方法，发现异同之处。“研讨”还要有平台，平台可实可虚，既有实实在在的课堂“研讨”环节，也有虚拟的网络“研讨”空间。海德格尔曾认为，真理女神总是把人们带到两条路的交口，“一条是揭示之路，一条是晦蔽之路”，真理（揭示状态）总是要从晦蔽的状态中“研讨”出来。自然，研究求深刻，讨论立共识，深层次的共识才能更好推动迭代，任何敷衍的讨论或者巨大的分歧都会左右迭代的效度。③演绎。“演绎”是“习得”基础上的横向扩展。“演绎”可以迅速膨胀的“习得”，以点带面，以静蕴动，以实冲虚。师生在自由活跃的课堂气氛中，演示彼此作品，展现各自“习得”;过程中，师生作品可以比较，学生之间可以比较，比较是为了理解，也是为了交流，更是为了提升兴趣。演绎的手段多种多样，有登台演讲、诗歌表演、舞蹈渲染、小品点缀、绘画涂鸦和手工艺品等。这样，迭代的节点不再干瘪，在一定层面上具有很强的延展性。④练悉。“练悉”是“习得”的进一步升华。“练悉”既是一种间断连续状态的描述：“练悉”是一个间断的状态，各个迭代节点的“习得”、“研讨”和“演绎”总是需要时间，串联课堂与实践，随着时间的流逝，各种摩擦和矛盾难免死灰复燃;“练悉”又是一个连续的状态，“习得”、“研讨”和“演绎”使得各个迭代节点，不断滚动，不断运转，螺旋上升。这样，生硬断裂的弊端可以克服，畅通迭代节点有所保障。

2.稳定迭代结构。稳定的迭代结构是达到预想目标的条件。例如，函数f（x）=x2+1，求f {f[f（1）]}的结果。三次迭代是26。若开始误为f（x）=2x+1，三次迭代是513，迭代结构不同致使结果匪夷所思。迭代是一个复杂的过程，欲维持迭代结构，必须依靠“趣”“情”“励”“合”，才“帮助学生完成他们的学习过程。”①趣兴。“趣兴”是“智力活动的推动力量”，它是一种趋向，建立在强烈需求的基础之上。迭代结构需要把握好“趣兴”的积极意义，恰当使用，出其不意。语言形式上，诗歌、对联、谜语和典故等左右逢源;表达手段上，影视、音乐、动画、和广告等信手拈来，以此为切入点使学生积极参与，持久互动。同时，也要尽力克服完全以“趣兴”为中心，要能放能收，张弛有度，再多的欢乐只是正规课程的铺垫，真正的教学功夫不在于能够抖多少包袱，而是抖出的包袱都能收回来，谨防学生注意力的弥散。②情感。“情感”是在“趣兴”基础上的主体内部稳定，是学生适应课程、获得发展的重要工具。美国心理学家埃里克森断言：尽管不同文化的差异客观存在，“情感的发展变化及其与社会环境的相互关系却遵循着相似的方式”。课堂上激发、尊重和引导学生的情感诉求，可以催化整个学习过程，优化学习的效果。③励节。“励节”是在“趣兴”基础上的主体外部刺激，它是教师以正面的方式，用正面的案例或言语，从外部调控学生的“趣兴”嬗变。中国古人早就意识到这一点：“名可务立，功可强成。所以君子积志委正，以趣明师;励节亢高，以绝世俗”。“励节”存在教学活动的过程中：教学初，以崇高的目标振奋人心，跨越抵触的丘壑;教学中，教师身先士卒，不畏艰辛，师生互励，同舟共济;教学末，鼓励学生反刍，以教学所知所感打造得意之作，内化教学成果。所以，通过恰当的控制和评价――弱则鼓励，强则节制，真正巩固教学效果。④合尖。合尖是维持迭代和实现成功的最后一步策略，涉及“趣兴”、“情感”和“励节”三方面的融合，充实里子，光鲜面子，里外融合，最终使得“来自不同时期、不同层面、不同形式的优秀元素形成合力”，达到课程改革的预想。

四、课程改革的仿射效应

仿射变换是线性变换的一种重要形式。“一般会改变图形中向量的夹角、点与点之间的距离、图形的面积等”，通过仿射变换，图形或是伸长，或是缩放，或是旋转，或是裁剪，例如巴恩斯利蕨。分形具有相似变换的特点，只是仿射变换的特例而已。“民族理论与政策”课改若视为分形原理的相似变换，那么，“民族理论与政策”教学团队的构建和跨学科课改则可视为分形原理的仿射变换。

1.团队仿射连理。教学团队是依据DLA的模型仿射生成。DLA为“扩散受限聚集”，体现非平衡生成和凝聚的特点。常见模型分二维和三维两类，是一定距离不断释放离子的过程。

团队的核心吸引子是龚永辉老师，在其努力下，教学团队初步成型;这个团队中，有的负责教学的内容设计，有的专攻教学的建导，还有的完善教学的网络设计，众人拾柴火焰高。三年努力，这个团队从青涩逐渐走向成熟，早期团队成员转而成为新的吸引子，凝聚各学科的学者，释放团队更大的影响力。如今，这个团队已经发展为29人，青年居多，生机勃勃。就是这个团队，为课程改革和创新立下汗马功劳，也为形成课程群奠定基础。

2.课群仿射辉映。既然教学团队凝聚了各学科的成员，分形的原理也被自觉地带入了相关学科的建导。文史课程自觉分形建导。广西民族大学的“公共关系学”课程，仿射“民族理论与政策”的课程纲要，从“十二和指月谈”“十二和放大镜”“十二和训练场”和“十二和情趣园”这四个板块，层层生成自相似课程。除此之外，理工课程也自觉分形建导，尤其以杨社平教授亲自主持的“数学作文”最为典型。

五、分形课改的刍荛之见

分形理论是高校课程改革的亮点，但并不是唯一方法，也要依靠教育学的原则和方法。另一方面，分形理论的自身依然具有一定局限性。还要辩证考虑混沌现象和混沌理论的存在。混沌理论是数学分支之一，用来描述非线性过程中出现的混乱复杂的现象。最早发现混沌运动的研究是庞加莱的三体问题;真正让混沌运动上升为混沌理论的人是气象学家劳伦茨，正如“蝴蝶效应”，动态系统的运动轨迹和初始条件紧密关联，初始条件的轻微变化――量的增减、质的优劣和结构组合，都可能出现分叉，最终，差之毫厘，谬以千里。人们的宏观预测往往作用甚微。混沌理论和分形理论关系密切，但是含义迥异。

混沌现象也存在于课程改革的过程中，无论是迭代节点的连续，还是迭代结构的维持，事实上都可能发生极小偏差，这些看似微不足道的东西，也许就会产生一系列的连锁反应，使得课程改革的目标和结果大相径庭。《课改分形论》也应考虑到这种“意外情况”的存在，以具体的章节或者典型的案例来说明：分形理论的课程变革是如何克服混沌现象的干扰。

参考文献：

[1]胡家信.分形分析引论[M].北京：科学出版社，2013.

[2]王根顺，史学正.论高等院校课程的科学学基础[J].高等教育研究，2006，（3）.

[3]杨社平.课改分形论：跨学科参与一门部级精品开放课程建设的边缘心语[M].桂林：广西师范大学出版社，2014.

[4]胡家信.分形分析引论[M].北京：科学出版社，2013.

[5]（日）JUN Kigami.Analysis on Fractals[M].北京：机械工业出版社，2004.

[6]朱华，姬翠翠.分形理论及其应用[M].北京：科学出版社，2011.

[7]Kenneth Falconer.Fractal Geometry Mathematical Foundations and Applications（第二版）[M].北京：人民邮电出版社，2007.

[8]朱华，姬翠翠.分形理论及其应用[M].北京：科学出版社，2011.

[9]杨社平.课改分形论：跨学科参与一门部级精品开放课程建设的边缘心语[M].桂林：广西师范大学出版社，2014.

[10]顾明远.教育大辞典（增订合编本）[M].上海：上海教育出版社，1998.

[11]夏基松.现代西方哲学（第二版）[M].上海：上海人民出版社，2009.

[12]杨社平.课改分形论：跨学科参与一门部级精品开放课程建设的边缘心语[M].桂林：广西师范大学出版社，2014.

13]卞桂平，焦晶.浅议立德树人：内涵、实质及要求[J].南昌工程学院学报，2014，（4）.

[14]肖蓉，吴倩茹.立德树人：大学生思想政治教育的本质要求[J].教育探索，2014，（3）.

[15]张伟.教师的使命：在生命的田野里立德树人[J].教育科学论坛，2014，（4）.

[16]张济忠.分形[M].北京：清华大学出版社，1995.

[17]欧阳修，宋祁.新唐书[M].北京：中华书局，1999.

[18]李忠.迭代、混沌、分形[M].北京：科学出版社，2007.

[19]龚永辉.民族大义十二和建导纲要（修订本）[M].南宁：广西民族出版社，2012.

[20]胡家信.分形分析引论[M].北京：科学出版社，2013.

[21]海德格尔.存在与时间[M].北京：生活・读书・新知三联书店，2006.

[22]杨社平.课改分形论：跨学科参与一门部级精品开放课程建设的边缘心语[M].桂林：广西师范大学出版社，2014.

[23]合肥师范学院心理学教研组编.（共同必修）心理学讲授纲要[M].合肥：合肥师范学院出版社，1963.

[24]陈琦，刘儒德.当代教育心理学（第二版）[M].北京：北京师范大学出版社，2007.

[25]（西汉）刘安.淮南子全译[M].贵阳：贵州人民出版社，1995.

[26]杨社平.课改分形论：跨学科参与一门部级精品开放课程建设的边缘心语[M].桂林：广西师范大学出版社，2014.

[27]朱华，姬翠翠.分形理论及其应用[M].北京：科学出版社，2011.

[28]龚永辉.课改撷英录：广西民族大学“民族理论与政策”部级精品乐成后续建设纪实[M].桂林：广西师范大学出版社，2013.