关于互不相关两动点相对加速度问题的探讨

摘要： 文章对互不相关两动点的相对运动问题，提出了新的看法，并给出了两动点相对加速度的计算方法和计算通式。

Abstract: This paper studies relative acceleration problem about two unrelative moving points,represents a new idea and gives calculation methods and formulae of relative acceleration about two unrelative moving points.

关键词： 动点；相对运动；相对加速度

Key words: moving point；relative motion；relative acceleration

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）11-0189-02

0 引言

关于互不相关两动点的相对加速度问题，所见文献都没有详细阐述，有些文献即使涉及到这部分内容，但又存在一些问题。如文献[1][2][3][4][5]。它们认为，欲求两动点的相对加速度，可以选其中一个点为动点，动系固结在另一个点上并随之平动。因而得到：两动点的相对加速度就等于它们绝对加速度的矢量差。我们认为：这种观点是片面的。在运动学中，点是一个理想模型。在工程实际中，点是不存在的，能否把物体看成点要由所研究的问题来决定。例如：在研究两辆车相对地面的绝对运动时，可以把它们都看成点，若研究它们之间的相对运动，与动系相固结的那辆车就不能再看成点，而应看成刚体。这样，动系就不是任何情况都做平动，而是取决于和它相固连的刚体的运动。正是基于这种观点，本文对两动点的相对加速度问题做进一步的探讨。

1 两动点相对加速度的探讨

为研究问题方便，设A、B两动点同时相对静参考系运动。某瞬时运动的速度分别为和，加速度分别为和 。现在，如要研究A相对于B的运动加速度，则选A为动点，动系固结在B上。下面，分四种情况具体讨论。

1.1 B做平动（图1） 此时，动系随B一起做平动，其上各点运动情况相同。牵连加速度 = 。

根据加速度合成定理：=-=- （1）

1.2 B绕自身转动（图2） 设某瞬时，B自转的角速度为ω，角加速度为ε。此时，B在空间的位置不动，固定在B上的动系将绕着B做定轴转动，动系上与A相重合的点即牵连点将绕B做圆周运动。牵连速度=×。

根据速度合成定理：

=-=+×

由于动系做定轴转动，故产生科氏加速度，同时，牵连加速度也有两项：切向加速度和法向加速度。其中，=2×（即），故k=2×+×A=2×-2ω2A；=×，=ω2A。

根据加速度合成定理：

=--=-×-ω2A-2×+2ω2A

=-2×+×+ω2A （2）

1.3 B做定轴转动（图3） 设某瞬时，B绕C轴转动的角速度为ω，角加速度为ε，固结在B上的动系随B一起绕C轴转动。因而，牵连点绕C做圆周运动。牵连速度=×，而=-则=×-×=-×。

根据速度合成定理：=-=-B+×（=）。

由于动系做定轴转动，故=×，=ω2

=×+ω2=×--ω2-

=×-×-ω2+ω2

=-×+ω2

k=2×=2×-+×=2×-2×-2ω2

根据加速度合成定理：

=--

=-+×-ω2-2×+2×+2ω2

=--2×-+×+ω2 （3）

1.4 B做平面运动 此时，动系随B一起做平面运动。欲求牵连加速度，可选B为基点，应用基点法来求。假设动系绕基点B转动的角速度为ω，角加速度为ε。

牵连速度=+×。

根据速度合成定理：

=-=-+× （=）

牵连加速度

=+ω2+×

科氏加速度

=2×

=2×-+×=2×（-）-2ω2

根据加速度合成定理：

=--

=-+×-ω2-2×-+2ω2

=--2×-+×+ω2 （4）

1.5 结论

通过分析，我们得到了B处于四种不同情况时相对加速度的表达式。实际上，四种情况的相对加速度可用通式=--2×-+×+ω2来表示。当B只有平动时ω=0，ε=0，得到（1）式；当B只有自转时，=0，=0，得到和（2）式；当B做定轴转动时，基点为轴心O，得到（3）式；当B做平面运动时，得到（4）式。因此，（4）式是两动点相对加速度的普遍形式。根据它们可求出两动点做任何形式运动时的相对加速度。

2 实例

汽车A和B，分别沿半径RA=900m，RB=1000m的圆形轨道运动，其速度为VA=VB=72km/h，如图5所示。求当θ=0°和θ=20°时汽车B对汽车A的相对加速度。

解：根据题意，选B为动点，动系固结在A车上。

VA=VB=72×1000/3600=20m/s

ω=，ω=

相对加速度（ε=0）

由（3）式得：=--2×（-）+ω2

=ω，=ω，×=ωω，×=ω

=ω-ω-2ωω+2ω+ω-ω

=ω+ω+2ωω

=ω+ω

a=ω+ω×BO=+×BO

=+×1000≈1.78（m/s2）

方向沿指向O点。

的大小与θ角无关。

如果根据文献[1][2][3][4][5]的观点，=-。计算结果是θ=0°时a=0.044m/s2；θ=20°时，a=0.164m/s2。

可以看出，两种方法计算的结果差异是非常大的。

参考文献：

[1]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学.高等教育出版社，2003.

[2]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学学习指导书.高等教育出版社，1984.

[3]王景涌等.理论力学.高等教育出版社，1990.

[4]九章系列课题组.理论力学全程辅导.辽宁师范大学出版社，2004.

[5]韦林.理论力学学习方法及结题指导（上册）同济大学出版社，2002.

[6]赵诒枢，尹长城，沈勇.理论力学习题详解.高教社《理论力学》第六版（哈工大）华中科技大学出版社，2004.

[7]李冬华等.理论力学同步辅导（Ｉ）哈尔滨工业大学出版社，2003.

[8]谢传锋.理论力学答疑.高等教育出版社，1988.

[9]陈明.理论力学习题解答.哈尔滨工业大学出版社，2004.