几何典型图——几何直观的先锋军

【前言】几何典型图——几何直观的先锋军由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。接着是五分钟的自由思考或小组讨论时间，这是我记下的某小组两位基础较好的学生的讨论过程： A：老师说要观察整个图形的背景图，这个图形的背景图是正方形啊。 B：正方形四边相等，四角都是直角，这样这个图里四条边相等，还有四个45°角和两个直角，但好像没什么用…...

摘 要：几何直观成为逐渐引起人们注意的一项工具，它凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，使抽象思维同形象思维结合起来，能充分展现问题的本质，突破数学理解的难点。本文就几何直观中的典型图在数学教学中所起的作用进行了探究。

关键词：初中数学 几何直观 几何典型图 辅助教学

随着现代数学教育的飞速发展，几何直观成为逐渐引起人们注意的一项工具。根据多年教学的经验，老师们都知道一般的中考都会有一到两个比较复杂的几何大题出现，而这部分往往是学生最头疼的题目：图形比较复杂，条件繁多，根本不知道该如何下手。我的经验就是：在平常的几何授课中不要就题讲图，而应该以图形为主要突破口，以线和角为主要内容，结合题目中的条件，将图形剖析透彻，引出所有的等量关系和结论。另外，每一个几何的知识点都会有相应的典型图，应该让学生在平常的练习中将典型图理解并熟记，能在背景复杂的复合图中将其抽取出来，从简单的基本图入手，逐渐将复杂图形分解，从而解决问题。下面就讲一个我在教学中遇到的例子：

2011年淄博中考的17题是这样的：如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，过点B作BGAE，垂足为G，延长BG交AC于点F，则CF=______。

学生初次见到这个题目，立刻低头思考，三分钟后抬头告诉我：不会。因为这个图看似简单，但其中最直观的除了RtABE的相关量外，其余的关系都不好联系。于是我给出了提示：要把复合图形拆解成为简单的典型图，可以先大体观察下整个图形的背景图，再观察内部有没有大家熟悉的图形，把找到的熟悉的图形抽取出来先进行分析，最后把分析完得到的结论再还原到原图中，看看能继续得到什么样的条件。

接着是五分钟的自由思考或小组讨论时间，这是我记下的某小组两位基础较好的学生的讨论过程：

A：老师说要观察整个图形的背景图，这个图形的背景图是正方形啊。

B：正方形四边相等，四角都是直角，这样这个图里四条边相等，还有四个45°角和两个直角，但好像没什么用……

A：是啊，咱先看看复习正方形时的资料吧。

A翻阅我一直让学生记录的集题本，找到了这个图形：

A：你看这个图，老师说过，这个图很简单，但是经常用到，两个RtABE和RtBCF是很容易证明全等的。

B：是啊，这两个图真有点像呢，不过好像还差一点点……你说能用上吗？

A：咱们来试一试吧。

两个同学盯着图看了一会儿后，做出了以下的辅助线：

延长BF交CD于H，

可得RtABE≌RtBCH

BE=CH=1。

又ABF与CHF相似，

= = ， = 。

由勾股定理可得AC=2 2，CF= AV= 。

我对这两个学生投去了赞许的目光，并要求她俩合作在白板上展出了自己的过程，然后表扬她们观察细致入微，而最初的突破口就是找到了正方形的一个典型图。

更让我惊讶的是，另一个小组立刻起立，向我展示了他们的思考过程：

首先，他们发现的是相似时学过的一个典型图藏在里面，这个图就是一个直角三角形作出斜边上的高后，形成的两小一大三个三角形相互之间都是相似的，根据这个结论以及AB=2、BE=5可以求出AG= 、GE= ，即 = 。

然后根据E是中点这个条件，学生做了如下辅助线：

作EH∥BH交AC于点H，

则 = = ， = = 。

又AC是正方形对角线，

AC=2 2。

所以CF= AC= 。

看完这个学生的演示后，我惊讶于他能够想到那么复杂的过程，便问道：完成得非常好，但你能告诉我怎么想的吗？

学生说：老师，就是按照你的提示啊，我们看出那个是正方形的典型图，但我一眼就看到了这个图，虽然计算麻烦，但只能先把它算出来。算出来的结果偏重于图左边，而要问的线段在右边，我觉得这样的条件很像你刚讲过的“平行线分线段成比例关系”时的一个图，因为这个定理可以把条件从左边移到右边，再加上还有一个中点，所以就试着做了一下，没想到真的做出来了。

由此我认为，几何直观中的典型图在整个数学的学习中发挥着重要的作用。因为直观的图形在学生的认知结构中一般比较稳定，记忆得比较牢固，而且它们在某种程度上又引出了数学结论，在抽象的数学结论和学生的认知结构间架起了一座桥梁。因此学生通过直观的图形就可以理解、记忆抽象的数学结论，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的相互转化、相互渗透，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。几何直观在其他课型的运用是否有效，值得我们继续去实践、探索。

参考文献

[1]2011年淄博市中考题。

[2]吴云飞 《几何画板》助学生构建几何直观.海盐《望海》杂志，2012。

[3]郑大明 几何直观教学理性的策略[J].广西财政高等专科学校学报，2008，（S1）。

[4]刘兼 孙晓天 主编 全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2002。

[5]王希平 重视几何直观，揭示几何图形性质[J].华东船舶工业学院学报（社会科学版），2012，（03）。