随机振动多窗口谱分析法模型建立及统计分析

摘要：针对随机振动中谱估计算法，分析了周期图估计算法对噪声系列的功率谱相关系数及加窗造成的信息损失，在此基础上分析了由直接谱估计算法构建的多窗口谱分析法，建立了其噪声模型，推导了估计方差减小与参与运算的窗口数的关系。针对白噪声序列，得到MTSA估计器避免加窗而造成信息损失时窗口数与信号序列的关系，最后推出了MTSA估计器的统计特征。

关键词：谱估计；周期图估计；多窗谱分析

文献标识码:A中图分类号：TN911.7

1.引言

随着现代工业的发展，尤其是国防工业，对设备的可靠性要求越来越高，如由机的颠簸、爬升、俯冲等会对机载设备造成强烈的振动、冲击，严重地考验着这些设备的可靠性。振动试验的目的在于确定所设计的设备在运输、工作过程中能承受外来或者自身产生的振动而不被破坏。在可靠性振动试验中，随机振动是通过谱均衡控制的方法来达到的，即通过谱均衡控制使测试件承受的振动功率谱与设定的参考功率谱一致[1,2]。在随机振动中，由于不同试件的特性参数存在很大差异，且系统参数不稳定的影响导致整个系统的动态特性发生改变，因而对谱估计算法提出很高的要求，同时谱估计在电力、化工、 冶金、 矿山、 船运等行业应用广泛[3]。目前振动信号频谱分析最常用的方法是基于FFT 的周期图法, 这种方法的分辨力性能虽然较好,但方差性能很差,不满足一致性估计条件。为改进周期图法的这一问题, 提出了很多改进算法，如Welch 功率谱估计算法。Welch 算法可有效降低功率谱估计的方差,但分辨力性能同时也降低。为了提高Welch算法的性能，提出了增加分段数的方法使估计方差减小，但分数段增加时，段长减小带来分辨力下降，因此，Welch 算法的估计方差与分辨力是一对不可调和的矛盾。从众多文献的研究[4,5,6]知周期图法及其各种改进算法存在分辨力性能和方差性能之间的固有矛盾。本文针对随机振动谱估计分析采用多窗口谱分析法（Multitaper Spectrum Analysis,MTSA），并对MTSA谱估计器和传统算法进行对比分析，在此基础上对其统计特性进行分析以确立其噪声模型，为振动谱均衡控制提供良好的估计算法基础。

2. MTSA谱估计器的统计分析及其噪声模型的建立

由于 MTSA谱估计器相当于K个直接谱估计器的平均，因此它的统计特性与直接谱估计器的特性有很大的关联。以下通过白噪声序列的周期图估计算法的特性分析，建立MTSA谱估计器的噪声模型，并对其统计特性进行分析。

2.1白噪声序列功率谱周期图估计算法分析

对于零均值的平稳高斯过程 ，加w(t)窗的Fourier变换为：

(1)

直接谱估计器可表示为：

(2)

因此，直接谱估计器的协方差为：

（3）

其中，相关序列 。由此可以得到直接谱估计器在不同频率上的相关系数为：

（4）

当窗函数为矩形窗，即 ，直接谱估计器演变为周期图谱估计器，它在Fourier频率点处不相关。对于白噪声序列式（3）变为：

（5）

令 得：

（6）

根据式（4）计算周期图估计器针对白噪声序列的功率谱相关系数。取N=16时，图1为计算得到的结果。由图中可以看出，周期图估计器的不相关频率间隔与Fourier频率是一致的。从上面的分析可知直接谱估计器 进行离散频率取样时,它的不相关离散频率不再是Fourier频率，下面针对白噪声序列来分析直接谱估计器系数不相关时的离散取样点。取DPSS窗与MS窗， ， ，计算结果如图2和图3。从图中可以看出，使用零阶窗函数时，在谱窗带宽外直接谱估计的结果不相关；随着谱窗阶数的增加，相关的频率点扩展到谱窗带宽之外；然而由图2(c,d,e,f)、图3(c,d,e,f)可以看到在谱窗带宽之内，某些频率点仍然不相关；通过比较0频率点、0.25频率点与f的相关系数，表明相关系数的分布与频率的测量点无关。

3.2直接谱估计信息损失分析及MTSA谱估计器噪声模型

由于MTSA谱估计器相当于K个直接谱估计器的平均，因此它的统计特性与直接谱估计器的特性有很大的关联。设零均值的白噪声过程 ，其方差为 ，因此其功率谱密度为 ，方差的估计值为 ，并可求得 的方差为

（7）

从理论上来说，一个最好的谱估计器得到的功率谱密度为 。对于白噪声过程，周期图谱估计器 是 的无偏估计，因此对 进行平滑可得到：

（8）

对于使用归一化窗函数w(t)的直接谱估计器 ，对它进行频域平滑：

（9）

并有方差为:

（10）

由cauchy不等式可以得到 ，且只有当w(t)为矩形窗时等号成立，因此对于任何非矩形窗，周期图估计器与直接谱估计器关系如下：

（11）

从式（11）可以看出虽然直接谱估计器使估计的结果得到平滑，但使用窗函数对信号序列进行加权，导致信息量的减小，从而使估计的方差增大。下面分析MTSA谱估计器对这种损失的补偿作用。设 是一组标准正交的多窗口序列，则MTSA谱估计器可表示为：

（12）

将 用矩阵形式表示为：

（13）

由 的标准正交性可知： 且 ，所以 ，因此可以得到：

（14）

对于式（12）当K=2N时，即多窗口数与信号序列的点数相同，由式（14）可得：

（15）

比较式（8）、（11）、（15）可以看出，对于白噪声序列，MTSA估计器只有当窗口数与信号序列的点数相同时，才挽回了直接谱估计器因加窗而造成信息量的损失。

3.3MTSA谱估计器统计特性分析

下面具体分析MTSA估计器的方差及MTSA特征谱的相关特性。由式（1）、（2）、（3）可以得到特征谱 、 的协方差为：

（16）

及

（17）

若信号序列 是零均值的高斯白噪声，方差为 ，则式（16）可写为：

（18）

当取f＝0.25、N=32、W=0.0625时， 与K的关系如图4中的曲线A； 曲线B是取 时的方差曲线；虚线标明了Shannon数为8。可以看出，当 时曲线A、B基本是重合的，因此可以近似认为当K小于等于Shannon数时各特征谱是不相关的。

虽然以上结果是由高斯白噪声推导出的，对于高斯随机过程，其特性如果在频率区间 上变化不是非常剧烈，其谱估计的统计特性可由高斯白噪声很好地近似。因此由以上分析及式（12）可以得到MTSA估计器的统计分布为：

（19）

并得到：

（20）

对于非高斯的平稳随机过程，根据中心极限定理，MTSA估计器的统计特性也可以由以上两式很好地表述。

3. 结论

分析了周期图估计器对噪声系列的功率谱相关系数及加窗造成的信息损失，在此基础上分析了由直接谱估计算法构建的多窗口谱分析法，建立了其噪声模型，分析得出当参与运算的窗口数增多时，由于各特征谱彼此不相关，得到平均后的估计方差可以减少到传统周期图法的窗口数分之一。并且针对白噪声序列，得到MTSA估计器只有当窗口数与信号序列的点数相同时，才挽回了直接谱估计器因加窗而造成信息量的损失，最后推出了MTSA估计器的统计特征。

参考文献：

【1】 刘小勇，施仁。一种新型电动机机械振动测控系统【J】。小型计算机系统。2004.12，36（6）：123-128

【2】 Page M. Signal processing for vibration control[A],The proceeding of UKACC International Conference on Control’96[C],1996.8,(2):740-745

【3】 罗中良，周友平，刘小勇。新的矿山机械故障诊断方法研究【J】。煤矿机械。2010.4，31(4)：240-243

【4】 余训锋， 马大玮， 魏琳。改进周期图法功率谱估计中的窗函数仿真分析【J】。计算机仿真，2008.3,25(3)：111-114

【5】 吴红卫，吴镇扬，赵鹤鸣等。多正弦窗谱估计的性能分析【J】。信号处理，2007.12，23（6）：932-936

【6】 张峰，石现峰。多正弦窗谱估计应用于振动信号频谱分析【J】。西安工业大学学报，2010.8，30(4)：387-391

作者简介：罗宇飞（1970.11-），硕士，电工电子一级讲师，主要研究方向为电子工程、汽车电子。