随机振动功率谱估计方法研究

摘要:功率谱估计在航空、航天和其他领域中应用广泛。快速、准确的功率谱估计能够有效地对飞行器实测数据进行分析,测量系统中的噪声,指导振动试验。文章主要介绍了随机振动功率谱估计的方法,为工程设计提供理论依据。

关键词:功率谱估计;随机振动;工程设计;周期图法;非参数方法

中图分类号:TN911文献标识码:A文章编号:1009-2374 (2010)12-0021-03

对于随机信号,无法像确定性信号那样用数学表达式来确定地描述它,而只能用它的各种统计平均量来表征它。其中,自相关函数最能完整地表征它的特定统计平均值。而一个随机信号的功率谱密度正是自相关函数的傅里叶变换,我们可以用功率谱密度来表征它的统计平均谱特性。所以,要在统计意义下描述一个随机信号,就需要估计它的功率谱(Power Spectral Density,PSD)。功率谱估计在其他应用中也有十分重要的作用,测量噪声频谱、检验埋没在宽带噪声中的窄带信号,飞行器实测数据的分析,以及用噪声激励法估计线性系统的参数等,都要估计功率谱。因此,随机信号的功率谱估计是当前信号处理中的一个重要的研究课题。

一、功率谱估计的方法

功率谱估计有多种方法,一般可以分为非参数方法与参数方法。非参数方法中较为常用的是韦尔奇(welch)方法,这种方法属于经典谱估计的一类――周期图法。相比非参数方法,参数方法则主要围绕ARMA(自回归移动平均)模型的参数估计问题来计算信号的功率谱,属于现代谱估计方法。

(一)经典谱估计――周期图法

周期图法是把随机信号的N点观察数据xN(t)视为一有限信号,直接取其傅里叶(Fourier)变换,得到XN(ω),然后取其幅度的平方,并除以N,作为对信号真实功率谱密度G(ω)的估计,即:

(1)

式中:ω表示圆频率(rad/s),在实际应用中频率一般采用赫兹(Hz)为单位,即取f=ω/2π,设其相应功率谱密度为Gf,则有Gf =2πG(ω)。

周期图估计方法的效果并不好,它的估计方差很大,而且不满足一致性估计条件,即方差不会随着N的增大而趋于零。

韦尔奇法是对周期图法的改进,算法的思想首先是基于分段平均,即把长为N的信号视为L个长为M的信号(LM=N),分别对这L个信号求周期图,然后求这L个周期图的平均值。计算公式为:

(2)

实际上,分析处理时,为了更精确的计算功率谱,对公式(2)做了一个改进,即L个长为M的信号可以有一部分重叠,由于重叠会使各段之间具有统计相依性,反而会导致方差增大,所以在分段数目与重叠之间的选择上存在着一个折衷。而且,随着分段的增加,虽然方差减小了,但估计的偏差会变大,因此在使用韦尔奇法时,需要在估计期望值偏差和估计方差之间进行权衡。

(二)现代谱估计的参数方法

经典的韦尔奇功率谱估计方法,存在的主要缺点是谱分辨率低,而现代谱估计的参数方法很好的改善了谱估计的效果。这类方法的基本思想是认为随机时间序列{x (n)}是白噪声通过某个模型产生的。这样考虑更接近实际,所以有可能改善估计的效果,通常按如下步骤进行:(1)选择一个正确的模型;(2)用已观测到的样本数据或自相关函数的数据来确定模型的参数;(3)由此模型求出功率谱估计。

1.模型建立。现代谱估计中,时间序列信号模型的建立是谱估计的关键,模型建立准确与否直接关系着谱分析结果。在实际中,我们常常用一个具有有理分式的线性时不变系统函数模型来描述所遇到的随机过程序列。因此,可以用一个线性差分方程作为产生随机序列{x (n)}的系统模型,即:

(3)

式中:w(n)表示白噪声序列,对上式进行z变换得:

(4)

故系统模型的传递函数为:

(5)

式中:,。

若输入白噪声功率谱密度为Pω(z)=σω2,则输出功率谱密度为:

(6)

将z=e jω代入上式,得:

(7)

如果确定了σω2和系数ak、bl,就可求得随机信号序列的功率谱密度Px(ω)。

根据系数ak、bl的特点,可分为三类模型来讨论(设a0=b0=1)。

(1)AR(Auto-Regressive)模型

若l>1时,bl=0,则系统的差分方程变为:

(8)

上式称为P阶自回归模型,简称AR模型。将上式进行z变换,得:

(9)

所以,AR模型又成为全极点模型。AR模型的输出功率谱为:

(10)

显然,只要计算出σω2和ak系数,就能求得功率谱Px(ω)。

(2)MA(moving average)模型

如果bl=0,并且除a0=1外,其余ak系数为零,则差分方程为:

(11)

上式称为p阶移动平均模型,简称MA模型,其传递函数为:

(12)

MA模型又称作全零点模型。

(3)ARMA模型。当ak、bl均不为零时,则该系统称为ARMA模型。ARMA模型是描述离散线性时不变系统模型的最广义形式,但任何的ARMA模型都可以用高阶的AR模型或MA模型来逼近,且由于AR模型参数的估计得到的是线性方程,因此在计算上,AR比ARMA以及MA模型有明显的优点,而实际的物理系统也往往是全极点系统,因此,现代谱估计主要采用AR模型。

2.模型参数估计。通过模型分析的方法来做谱估计,关键是要解决模型的参数估计问题,这里主要介绍尤利――沃克自回归方法,该方法的核心就是如何从随机信号序列的自相关序列中计算出指定阶数AR模型的参数,以得到该随机信号序列的功率谱估计。下面详细推导出这一方法。

定义自相关序列为:

(13)

然后定义AR模型的差分方程:

式中的第二项:

(15)

因为x (n)仅与w (n)相关,而与n以后时刻的白噪声序列无关。于是,利用这一结果,自相关函数可以化为:

(16)

将m=1,2,…,p分别代入上式中的一式,并写成矩阵形式:

若将上式与m=0时的Rx(m)和在一起,就可以写成(p+1)*(p+1)的矩阵形式:

上述方程就是p阶尤利-沃克,解此方程可得系数ak(k=1,2,…p)和σω2,就可以求得序列x (n)的功率谱估计。

二、应用举例

取周期信号和随机信号叠加,即:y (t)=sin(2π×80t)+2sin(2π×140t)+随机信号,用经典和现代两种方法进行谱估计。

经典韦尔奇谱估计见图1,尤利-沃克现代谱估计(AR模型)如图2所示:

由两种方法的功率谱估计可以看出,80Hz和140Hz频率对应着信号中的两个正弦信号,两种方法的谱估计结果都比较好,主要因为数据长度长,谱分辨率高,对分析结果影响不大;其余频率段,现代谱估计较经典韦尔奇谱估计谱线平滑,经典韦尔奇谱估计谱线毛刺较多,不利于估计谱能量。

对一组冲击数据进行谱估计,如图3所示。由于冲击振动的特点,时间短,所以振动峰值的数据点数很少。用经典韦尔奇法估计,得到的频率分辨很低,容易造成谱形奇变;用现代尤利-沃克自回归法估计,频率分辨率不受数据长短的限制,谱形真实。由图3两种方法的对比可以得出,经典法频率分辨率低,谱线偏移较为严重;现代谱估计的频率分辨率高,精度高,在冲击信号分析处理中的应用广泛。

三、谱估计方法的选择

经典韦尔奇谱估计方法和现代谱估计参数方法各有其优缺点。经典韦尔奇谱估计方法应用FFT算法后,速度大大提高,但它也存在一些缺点,如谱线是离散的,使频率分辨率有限,而且其谱值分析精度与频率分辨率及样本长度有关。现代谱估计 (AR模型)分辨率高,且与样本长度值无关。虽然现代谱估计有很多优点,但目前在数字信号处理中仍是一个新课题,因为AR模型在理论上是最小相位,若计算精度不高,会使矩阵成为病态,而频率定位精度随信噪比减小而减小,有谱线偏移与谱线分裂现象,谱估计精度取决于模型类型、阶数、参数等。

在工程设计中,根据经验,短数据如冲击谱分析,用经典韦尔奇法不合适,采用现代AR模型比较合适,阶次的选取在一般为数据长度的1/6～1/5;长数据如振动谱分析用经典韦尔奇法比较合适。

四、结论

通过对谱估计的方法研究,经典韦尔奇谱估计方法和现代谱估计参数方法在工程上有一定的实用价值,可为飞行器实测数据分析和试验数据分析提供理论依据和方法。

参考文献

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作者简介:干昌浩 (1982-),男,浙江宁波人,贵州江南机电设计研究所工程师,研究方向:飞行器载荷设计。