一类多目标投资组合优化模型求解算法研究

摘要：构建一类含交易费的约束多目标非线性投资组合优化模型，已有的数学规划方法直接求解极其困难，故从智能优化的角度设计了一种提高的进化算法(INSGAII)，算法中进化群体分离为可行群与非可行群，两种群体中的父体经由相互交叉获多样性的子体，修正算子对非可行个体修复。数值实验中，基本遗传算法(GA)及线性规划法（LP）被用于与该算法比较，结果表明该算法能获得较均匀的Pareto面，收敛性较好。

关键词：投资组合模型；非线性规划；多目标优化；进化算法

中图分类号：NF945.12 文献标志码：A文章编号：1673－291X（2011）08－0277－02

引言

投资组合就是如何配置各种有价证券的头寸来最好地符合投资者对风险和收益的权衡。Markowitz利用证收益的方差度量风险提出了M-V模型。该模型要求效用函数是二次的或者收益满足正态分布，故在实际应用中受到较多限制，若问题规模较大，则需要解决一个带有稠密协方差矩阵的二次规划问题，这给问题的求解带来高度的复杂性。

继Markowitz之后，大量的模型及求解算法被提出[1]。2008年，Dellino等[2]基于遗传算法设计出一种动态目标聚集算法求解投资组合优化模型；Kawakami等[3]以信息率为目标函数建立了动态资产投资组合模型，并利用遗传算法求解。

综上，大量的投资组合优化模型及算法被提出。然而，在实践中，投资者频繁地进行交易，交易费对收益的影响也是投资者不容忽视的问题。已有的求解方法主要是固定风险或效益使效益最大或风险最小，需经过多次迭代才能获得不同要求下的最优投资组合。本文主要针对含交易费的投资组合模型，从智能优化角度设计求解算法直接对模型求解。

一、投资组合模型

假设有n种资产可供投资，现用数额为M的资金作一个时期的投资，投资过程中存在一定的风险，总体风险用投资项目中最大的一个风险度量。假设购买资产时要付一定的交易费，当项目i投资额不超过给定值时，交易费按投资额计算，另外，假定存入银行存款利率为定值。建立如下多目标投资组合模型（POM）[4]。

（x）＝（xrM－T）＝xqM

s.t 0≤x≤1

0≤x≤1，i＝1，2，……n

其中Ti0x＝0μp0＜xM≤μ（xM）p xM＞u

为资产i交易费，x＝（x1，x2，……，xn）T∈Rn为投资权重向量，μ、p、r、q分别表资产i的投资定额、交易率、平均收益率和风险损失率。

二、求解算法

K. Deb提出了NSGAII解决多目标优化问题，该算法已广泛应用于求解各类多目标数值优化问题，但其设计时只是针对无约束的多目标优化模型。在此，基于NSGAII给予改进使其适合该模型的求解，获得一种提高的多目标约束进化算法（INSGAII） 用于模型POM的求解。

设最大迭代数为N，当前代数为k， 算法步骤描述为：

Step1： 随机产生初始可行个体群A （|A|=P）及外部集S（S=Φ），置初始代数k=1；

Step2： 若k≤N，则输出结果，算法结束；否则，进入Step3；

Step3： 群体A经由Pareto非控关系获Pareto个体集S，若|S|≥S0，则利用浓度抑制删去冗余的|S|-S0个个体；否则，转入Step4。并获可行群B及非可行群C；

Step4： 可行群B与非可行群C经交叉，获群体D；

Step5： 群体D经突变获群体E，并对E中非可行个体修正，获群体F；

Step6： 置kk+1，AF，转入Step2。

三、数值仿真

根据初始样本空间中投资项目数定义染色体（个体）的长度，染色体上每一基因代表一个项目，基因的数值表示投资比例，一个个体x＝（x1，x2，……，xn）∈Rn代表一种投资组合。采用数术交叉和多项式变异策略，对不可行的个体进行修正使其可行[5]。

现设有5种投资项目供选择，总投资金额M设为1，各自的交易率、收益率等信息详见表1，其中S1为无风险资产。

线性规划[4]（LP）、GA和INSGAII应用于算例求解分析，两种进化算法的最大迭代数N=200，交叉概率为0.8，变异概率为1/n，群体规模P=100，GA利用权重系数法将模型转化为单目标求解。

由于交易费是分段函数，已有的LP方法无法直接求解，在此首先不考虑交易费为分段函数，直接设为线性函数Ti＝（xiM）pi获得如图1和表2比较结果。若交易费为分段函数，获图2比较结果，此时LP无法获得Pareto面，故未画出。

图1中“-”为利用Matlab软件，在风险固定的情况下算法LP所获风险-收益Pareto面，虽然能得到较好的收益率，但由于该方法通过固定风险使收益最大，故需经过不同的固定风险才能获得不同的最大收益，算法需经过多次运算。而GA在风险较小时能获得较好的收益，当风险稍大时，对收益率的收索较困难。INSGAII通过一次循环即可得出多组风险――收益Pareto面，而且由图获知收索效果较好，速度快捷。表2为各算法在获相同的风险――收益点对下所需的平均时间，可见LP及GA所需的时间较长。特别，在交易函数为分段函数时LP无法获风险-收益Pareto面（图2），故未能描绘，而与GA比较易知，GA获点较少，且收敛性较差，而INSGAII获得pareto面较均匀，效果较好。

四、结论及进一步研究

在交易费为线性函数时，INSGAII较其他两算法获较均匀的pareto面；在交易费为分段函数时，算法LP便无法获得风险-收益点对，而GA所获效果劣于INSGAII。对于INSGA在资产数量较大的情况的性能有待于进一步研究。

参考文献：

[1] H. Konno， H. Yamazaki. Mean-absolute deviation portfolio optimization model and its application to Tokyo stock marcher[J]. Management Science. 1991，37（5）：519-531.

[2] G. Dellino， M. Fedele， C..Meloni. DOAM for Evolutionary Portfolio Optimization： a computational study[J]. New economics paper， 2008：253-266.

[3] A. Kawakami， Y. Orito， M. Inoguchi. Dynamic Asset Portfolio Optimization by Using Genetic Algorithm[C]. IEEE. Transactions on Electronics， Information and Systems， 2009，129（7）：1348-1355.

[4] 赵静，但琦.数学建模与数学实验[M].北京：高等教育出版社，2008.

[5] 庄中文，钱淑渠.抗体修正免疫算法对高维0/1背包问题的应用[J].计算机应用研究，2009，26（8）：2921-2930.