浅谈GPS高程异常拟合方法

摘要：在GPS定位技术中,由于其测量定位技术的物理机制,其平面位置的精度可以达到较高水准,已被人们所认识和接受,而其高程精度较其平面精度约低2～5倍。尤其是在WGS-84坐标系向地方坐标系的转换过程中,由于WGS-84的大地高仅有几何意义而无物理内涵,而高程系统的正常高既有几何意义,又有地球内部质量密度分布不均匀这样一个物理现象。本文重点对GPS高程水准拟合模型及其精度进行了分析探讨。

关键词：GPS；高程异常；测量；定位技术

引言

GPS定位技术因其优点突出,因而在测绘领域得到了广泛的应用。采用相对定位技术,通过GPS网平差,可以得到高精度的平面坐标(或大地坐标)和大地高差；如果网中有1点或多点具有精确的WGS-84坐标系的大地高程,则可求得各GPS点的大地高程。

GPS 测量得到是WGS-84 椭球的大地高，而我国采用的是正常高系统，它是以似大地水准面作为参考面的，因此，精确计算GPS 点的正常高，就必须作一些相应的转换。目前求定地面点的正常高的方法主要有GPS 水准高程、GPS 重力高程、GPS三角高程、转换参数、整体平差和神经网络法等方法。

重力法是根据点位信息，可直接求得该点的高程异常值。在一定区域内，只要有足够数量的重力测量数据，就可以比较精确地求定该区域的高程异常值。对于实施水准测量比较困难的丘陵和山区，利用重力测量方法是比较实用且可靠的方法。但此法的缺点是需要足够多且精度足够高的重力测量资料。从目前我国实际情况来看，GPS 重力高程的精度低于GPS 水准高程。

三角高程是在GPS 点上加测各GPS 点间的高度角(或天顶距)，利用GPS 求出的边长，按三角高程测量公式计算GPS 点间的高差，从而求出GPS 点的正常高的一种方法。联合平差法是当测区内具有天文、大地、重力测量、水准测量及GPS 测量等多种观测数据时，我们即可用整体平差模型将这些观测数据进行联合平差，最终可求得地面点的平面坐标及高程的最优无偏估值。

求转换参数法的原理是：当一测区内，有一定数量点平面坐标和高程己知，按坐标转换原理，求出参考椭球面与似大地水准面(或大地水准面)之间的平移和旋转参数，把这些参数加入GPS 网的平差，在己知点高程约束下，通过平差，在求出各GPS点平面坐标的同时，求出点的正常高。

人工神经网络是一门新兴交叉科学，它是生物神经系统的一种高度简化后的近似，是处理非线性映射问题的有效工具。基于神经网络来转换GPS 高程是一种自适应的映射方法，没作假设，理论上比较合理，能避开未知因素的影响，减少人为构造的数学模型误差。

对于一般工程单位而言，无法获得必要的重力数据和天文数据，故一些常规方法和重力方法难于普及。三角高程加测天顶距，计算边长，带来误差传播，并增加工程量，也是不可选的方法。GPS 水准高程是综合利用GPS 与水准测量成果求出似大地水准面，计算出未联测几何水准GPS点的高程异常，从而求出这些GPS 点的正常高的方法为GPS 水准。

重力法是根据点位信息，可直接求得该点的高程异常值。在一定区域内，只要有足够数量的重力测量数据，就可以比较精确地求定该区域的高程异常值。此法的缺点是需要足够多且精度足够高的重力测量资料。

三角高程是在 GPS 点上加测各GPS 点间的高度角(或天顶距)，利用GPS 求出的边长，按三角高程测量公式计算GPS 点间的高差，从而求出GPS点的正常高的一种方法。联合平差法是当测区内具有天文、大地、重力测量、水准测量及GPS 测量等多种观测数据时，我们即可用整体平差模型将这些观测数据进行联合平差，最终可求得地面点的平面坐标及高程的最优无偏估值。

求转换参数法的原理是：当一测区内有一定数量点平面坐标和高程己知，按坐标转换原理，求出参考椭球面与似大地水准面(或大地水准面)之间的平移和旋转参数，把这些参数加入GPS 网的平差，在己知点高程约束下，在求出各GPS 点平面坐标的同时，求出点的正常高。

基于神经网络来转换 GPS 高程是一种自适应的映射方法，没作假设，理论上比较合理，能避开未知因素的影响，减少人为构造的数学模型误差。对于一般工程单位而言，无法获得必要的重力数据和天文数据，故一些常规方法和重力方法难于普及。三角高程加测天顶距，计算边长，带来误差传播，并增加工程量，也是不可选的方法。

GPS 水准是从几何解析的角度出发，在GPS网中联测一些水准点，再利用这些点上的正常高和大地高求出它们的高程异常值，根据这些点上的高程异常值与坐标的关系，拟合出测区的似大地水准面，内插入其他GPS 点的高程异常，从而求出各个未知点的正常高。

对于线路工程，应用最广泛的是解析内插法，对于区域工程应用最广泛的是数学曲面拟合法。

1 GPS 高程数学曲面拟合方法

当GPS 点布设成一定区域面时，可以应用数学曲面拟合法进行拟合，求得待求点的正常高。

1.1 平面拟合法

在小区域且较为平坦的范围内，可以考虑用平面逼近局部似大地水准面。

设某公共点的高程异常ζ 与该点的平面坐标有关系式

式中，a1,a2,a3 为模型待定参数。

1.2 二次曲面拟合法

似大地水准面的拟合也可采用二次曲面拟合法，即对于公共点上的高程异常与平面坐标之间，假定存在如下数学模型

式中，a0,a1,a2,a3,a4,a5为模型待定参数。

1.3 多面函数法

多面函数拟合法的基本思想是任何一个规则或不规则的连续曲面均可以由若干简单面(或称单值数学面)来叠加逼近。

多面叠加的数学表达式为

这里，Q(x,y,xi,yi)为参加插值计算的简单数学面，又称为多面函数的核函数； n为简单数学面的张数或多层叠加面的层数，它的值与分块扩充范围内参与点的个数相等；Ki(i=1,2,3,……,n)为待定参数，它代表了第i 个核函数对多层叠加面的贡献。

1.4 曲面样条拟合法

曲面样条拟合法是基于无限大平板小挠度方程的数学模型，设点的ζ 与点的x、y 坐标存在如下样条关系

式(4)中ri2=(x−xi)2 +(y−yi)2 +δ，其中δ为平滑因子，一般可取δ为1。

由式 (4)可见，当有m 个已知的GPS 水准联测点时，则有m + 3 个未知参数。(a0,a1,a2,F1,F2,……Fm)，而方程个数亦为m +3个，因此可解此方程组求得这m + 3个参数，当GPS水准联测点有n 个时，n>m，可按最小二乘法求解出这m + 3个未知参数，进而可推求其余各插值点的高程异常值ζi。

1.5 移动曲面法

移动曲面法在计算时，通常采用契比雪夫多项式为移动多项式。

设点的ζ 与平面坐标x, y的函数关系ζ (x, y)可表示成如下契比雪夫多项式函数

式中Amn 为拟合系数，Tm(x)、Tn(y)、为变量，分别为x 和y 直到m 和n 次的契比雪夫多项式。

且有以下递推公式

当观测值个数k > m⋅ n时

式中，i=1,2,…,k；P1,P2,…Pk为权函数。

在移动拟合法中，往往需要解求复杂的误差方程组，在实际应用中，更为常用的是所谓的加权平均法。加权平均法是移动拟合法的特例，它是在解算待定点P 的高程时，使用加权平均值代替误差方程

式中，Zp 是待定点p 的高程；Zi 是第 i 个参考点的高程值，n 为参考点的个数，Pi 是第i 个参考点的权重，权函数及参考点范围的选取与移动拟合法相同。

2 实例分析

在某区域测区均匀选取9 个GPS 水准联测点，用平面拟合法、二次曲面拟合法、三次曲面拟合法进行拟合，其中精度比较见表1。

表1 不同阶次拟合的精度比较（mm）

从表1得知，随着多项式曲面函数的拟合阶次增大，内符合精度随之明显提高，由此说明拟合阶次的增大，对公共联测点的拟合精度有很好的改善。但并非随着多项式阶数的增加外符合精度也在提高。

3 结束语

针对GPS 高程拟合的各种方法，通过具体实例对拟合结果从多方面进行对比、分析和研究，得出以下结论：

(1)随着多项式曲面拟合阶数的增加，内符合精度明显提高但外符合精度并非提高。曲面样条拟合法拟合精度要高于多项式曲面拟合；实验拟合结果除三次曲面拟合法和加权平均法外，所有拟合结果均满足四等水准限差。

(2)平坦地区利用二次曲面拟合法拟合要好于平面拟合法和高次多项式曲面拟合法。

(3)在对多面函数法进行研究中，发现在平坦地区，平滑因子σ在一定的范围，核函数采用正、反双曲面时，拟合精度基本相同。

注：文章内的图表、公式请到PDF格式下查看