在初中代数概念课中引导学生自主变式的研究

【摘要】 数学概念是数学学习的开始和基础，任何数学学习都是始于概念的探讨和研究的。因此，数学概念是学生学习其它数学知识的必要基础，也是训练和提高学生基本数学技能的重要环节。从教学实践来看，变式教学是数学概念教学最为有效的方法之一，实际教学中，我们应该做到具体情况具体分析，让学生真正参与到教学之中，在对一个个变式的研究与讨论过程中，实现自主完善、自我提高。教学变式的设计应该注意呈现差异性，体现层次性，具有开阔性，彰显灵活性。

【关键词】 初中 代数 变式 问题

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2014）03-057-02

数学概念是数学学习的开始和基础，任何数学学习都是始于概念的探讨和研究的。就本质而言，数学概念所反应的是客观事物的空间结构与各组成部分之间的内在关系，是人们经过研究和实践总结归纳出来的事物属性的抽象概括，也是各种数学思想和数学方法的汇聚点。因此，数学概念是学生学习其它数学知识的必要基础，也是训练和提高学生基本数学技能的重要环节。从教学实践来看，变式教学是数学概念教学最为有效的方法之一，以下笔者就来结合具体教学案例来谈一谈自己的看法，以飨读者。

一、变式教学的相关概念

所谓“变式”，就是在不断变更对象的非本质属性，而使学生更加注意事物的本质特征，从变化之中找到不变，形成“公理化”的认识。所谓“变式教学”，就是指课堂教学过程中，以变换教学材料的组织方式，让学生在不同的例题、习题和新旧知识的对比当中找到知识的本质以及不同知识、概念之间的区别和联系。由此来看，变式教学实质上就是不断变换题型、变换知识的表达形式和叙述方式，使学生从不同的角度来对相关、相近、相反的概念来进行对比分析，实际上就是一种对比教学法。其实，对于我国的数学教学来说，变式教学并不是一个新的概念，只是相关的理论梳理和实证研究工作做得不多。现在，有关的研究都是以顾泠沅、马登等人的变易原理和变式对比理论为基础的。

变式教学实质上就是为了促进学生有意义的学习。为了实现这一目的，教师就需要根据实际教学需要，综合考虑教学内容和学生的学习基础，合理地设计教学变式，使学生从多个角度、多个侧面来深入思考数学概念，增强教学活动的互动性和有效性，真正完成教学目标。

二、变式教学在初中数学概念教学中的应用方式

对于初中数学概念教学来说，其根本任务是让学生从来源上把握概念，并由此拓展概念的内涵和外延，理解不同概念之间的关系，学会灵活地应用概念来解决实际问题。根据概念的不同类型，我们可以将概念变式教学分为四类，即描述性概念、定义型概念、难理解概念和难想象概念。实际教学中，我们应该做到具体情况具体分析，让学生真正参与到教学之中，在对一个个变式的研究与讨论过程中，实现自主完善、自我提高。

1. 应用变式教学来进行描述性概念教学

概念的产生和描述方式不同，变式教学法的方法就有所不同。如数学概念当中并没有明确的定义，而只是对其特征加以描述或列举其不同表现形式、反例图式等。对于此类概念，我们应该针对其内涵和外延，让学生自主地思想，培养学生深刻的思维。当然，如果能使之建立具体事物、感性经验和抽象概念之间的联系，则教学就会变得相当简单和自然。相关的研究也表明，影响学生掌握代数概念的因素主要有三个，一是学生已有的数学知识，二是概念的叙述方式，三是为掌握概念所呈现的各种变式。以数轴的教学为例，教学经验丰富的教师往往会借助以下两类变式来完成教学任务：一是通过生活实例来激活学生已有的感性经验，使其理解数轴的实际含义，如举出两人同时从同一地点以5米/秒的速度出发，向相反的方向行走，如何描述两人两秒后距离出发点的距离之类的问题就非常恰当；二是利用不同的生活生产实例作为变式，引导学生实现由直观材料形成的感性经验到数学概念的升华和过度，使之掌握数轴的数学含义，准确把握数轴的数学外延。也就是说，在教学过程中应该多举实例，使学生从不同的生活实例当中找到数轴上数值正负的含义：方向不同。当然，在教学发展到一定阶段之时，我们就可以摆脱数学概念所依赖的具体的或直观的生活场景，使学生能通过自己的逻辑思维来理解数学概念的实质了。而当学生的数学知识达到一定程度之后，甚至某些基本的数学概念成为其学习新概念的直观变式。所以，我们这里所说的数学概念是抽象的还是具体的，是一个相对的概念。

2. 应用变式教学来进行描述性概念教学

有些概念，在数学当中是有明确定义的，也就是说，教科书当中有明确的、陈述性的定义。对于这灯概念，我们应该通过变式来引导学生主动地完成新概念与已有概念、特别是已有的相关概念之间的联系，让学生在将新概念与已有概念的对比和联系当中体会新概念的本质属性，从而完成对新概念的理解，也就是要让学生主动完成心理学上所说的概念的同化的过程。在此过程中，学生受知识水平和认知能力的限制，极有可能会在理解新概念时，加入自己主观臆断的成分。为避免这一情况产生的负作用，我们应该结合自己的教学经验，以逻辑关系为依据来创设，利用概念的真命题、逆命题、否命题来引导学生发现错误的源头，摒弃错误思想，树立正确观念。

对于那些学生难以接受的概念，我们不妨将相关甚至相对的概念放在一起，让学生在自发的对比、对照过程中，了解各个概念之间的联系与区别。初中代数当中的不少概念之间是相容和不相容的关系，而即使是相容的概念，其关系又可以分为从属、交叉和同一三种关系。比如，自然数和正整数就是同一关系，算术平方根的平方要是从属关系，而根式和方根则是交叉关系。我们在上述几组概念的教学中，就要将对应的概念加以对照比较，使之由表及里地理解相关概念。

只有学生深刻地理解了数学概念，才能为提高解题能力和实际应用能力打下坚实基础；反之，也只有经过一系列的相关题目的训练，学生才能更全面、更深刻地理解和掌握概念的内涵和外延。在教科书和参考资料当中都有大量的例子，我们在教学中应该充分利用起来。当然，学生在学习过程中，理解上出现的各种错误，也往往是我们重要的教学素材，如果能加以整理，则可形成针对性极强的训练题目，再配合学生自主练习、小组讨论、课堂交流、教师点评，则会使学生茅塞顿开、恍然大悟。

3. 应用变式教学来突破难理解概念

教学实践中，我们会经常发现，尽管有些概念在数学当中有明确的定义，通过教学之后，学生也能一字不落地背出来，定义当中各个词语的意思学生也能对答如流，但是只要一做题就出错，出了错学生是一点就透、一说就明白。出现这种情况，就说明学生对概念的理解仍然只是表面的、浅层次的，而并没有清楚地理解概念的实质。此时，我们应该变换教学角度，学生理解概念当中每一个修饰性词语的深刻含义，当然，最好能再结合具体例子来使学生从正反两个方面来重新认识概念，让学生改变或者加深对概念的认识，使其对概念的理解更加具体、更有意义。

如对于二次根式，课本是这样描述的：“一般地，式子■（a≥0）叫做二次根式。”这是一个典型的描述性的概念。在这一概念当中，式子■（a≥0）是作为整体来出现的，其中a≥0是二次根式的必要条件，教学过程中我们可以分别举出a>0、a=0、a

4. 应用教学来突破难想象概念

在数学当中，不少概念看起来好像是简单而且具体的，但是一旦应用到实际情况当中，学生往往不知如何下手。实际上要解决这种情况，最好的办法就是展示出概念产生的背景和经常出现的方式，以实现概念的变式。

在初中代数当中，特别是涉及数轴、函数图象等知识时，往往需要借助几何图形来理解概念或者解决相关问题，因此初中代数教学当别强调数形结合的思想，以帮助学生正确地理解和应用概念。如，我们在练习和考试当中常见与如下题目相类似的题目：

文具店、书店、服装店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店的西边30m处，服装店在书店的东边80m处，小明从书店出来沿街先向西走了20m，接着又向东走了100m，则小明此时的位置在（ ）

A. 文具店处 B. 书店东100m处

C. 服装店处 D. 文具店东100m处

这一题目其实并不难，但对于初一学生而言，如果单凭想象，则往往不得要领。如果我们引导学生以书店为原点、以向东为正方向、以是1m为单位长度建立数轴，将题述情况画到画轴之上，则文具店、服装店的位置分别可用-30、+80来表示。这校一来，小明从书店向西走了20m，接着又向东走了100m，则其位置正好处于+80，即小明所在位置为服装店处。这样做的话，学生就会完成由实际生活案例向代数知识的转变，学会用代数知识来理解、描述和分析日常生活行为。

三、应用变式教学需要注意的问题

如前所述，应用变式教学来进行概念教学，方便实用，有利于促进学生对数学概念的全面理解，有利于提高学生的学习成绩，有利于改变传统的教学模式，更好地激发学生的自主思考，提高学生的学习兴趣，激活学生的发散思想，特别适合基础差、积极性新的学生在数学上有所发展。从这些方面来说，变式教学都是颇为符合新课程的要求的。但是，我们应该注意，我们所说的变式教学绝不是为了“变式”而“变式”，而应该以教学需要为依据，以学生认知规律和教学规律为准绳，有序、科学、合理地设计教学变式，让学生在变式训练的过程中，深化对知识的理解，将学科知识转化为数学能力，掌握数学技巧，真正完成“应用――理解――形成技能和能力”的完整认知过程。所以，数学变式的设计要讲究“巧”，要注意艺术性，要把握好“度”。一般说来，在数学概念教学中，教学变式的设计应该注意以下几个问题：

1. 呈现差异性。设计数学教学变式必须突出一个“变”字，不能是同一题目的简单、机械地重复。当然，我们说突出“变”字，并不是说同一题组之间无任何联系，而是同一题组之间的不同题目应该有明显的差异，只有这样，学生在分析问题和解决问题的过程中感觉既熟悉又新鲜。从心理学的角度来看，只有新鲜的题目才能给学生以强烈的刺激，使之处于高度兴奋状态，集中注意力分析题目之间的不同，积极思考，主动探索，从而收到较好的训练效果。所以我们说，在代数概念教学的变式设计中，应该力争做到变中求“活”，变中求“新”，变中求“异”，变中求“广”。

2. 体现层次性。我们说概念变式教学所设计的问题不能过于简单，让学生一眼看穿，否则将无法调动学生思考的积极性。但是，在变式设计时，应该遵循由易到难、逐步深入、层层递进的原则，使一系列的问题总能处于学生思维能力的最近发展区内。唯有如此，方能既保证学生的求知欲和好奇心，又使学生在解决和分析问题的过程中提升自身能力和素质，能够自主地跨过一个又一个“门坎”。

3. 具有开阔性。好的艺术作品，意境开阔方能令人回味无穷。教学设计也是如此。对于概念教学的变式设计来说，应该给学生留下足够的思考空间，使其有意犹未尽之感。要做到这一点，教学设计当中所引用的生产、生活实例和例题就要具备三个特点：一是与相关知识具有横向联系，能引起学生的联想；二是题目延伸性强，可以实现一题多变，激起学生变中求统一的欲望；三是题目的分析与解决过程体现创造性和深刻性，对学生具有方法启迪。

4. 彰显灵活性。即变式设计应该符合学生的学习实际，紧扣教学重点和难点，变式设计的方式灵活多样，学生能够在教师启发下独立完成探索过程，或者至少能够半独立地完成思考和讨论。当然，根据教学内容的不同，我们可以安排学生就数学概念的内涵和外延分散训练，也可以安排学生进行集中讨论，甚至将对一个概念的掌握分为为若干个变式，让学生体会知识的螺旋上升过程。这样一来，就会吸引学生多种感官来参与学习，使其大脑和神经始终处于高度兴奋状态，收到最佳的教学效果。

[ 参 考 文 献 ]

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