浅谈几何题的解题方法

任何一个科学的几何命题，它的结论必隐含于题设之中。然而从题设推得结论往往有不同的途径，这是什么原因呢？根本的一点是因为几何知识之间有着内在的联系和构成某种关系的缘故。作为反映这种关系的人的思维又是多方面、灵活的。正是由于这些原因，才产生了众多的解题方法。下面就来讨论几种重要的解题方法。

一、思考法

在研究、学习几何时，常常既要研究图形的特性，又要进行分析、概括，经过推理，找出它是否还具有一般的性质。同时，当掌握了某些一般定理之后，又要在它的指导下，灵活运用，使理论联系实际。这种从个别到一般；又从一般回到个别，去指导具体的、特殊的学习几何的方法，能够使学习不断深化， 不断提高分析问题和解决问题的能力。

二、分析法

当我们遇到一个几何命题需要证明或求解时，应该怎样着手呢？这是学习几何时先要解决的问题。一般说来，在看懂命题的条件和结论（同时画出一个草图）后，总要先进行分析，通过分析获得证题或解题的方法。所以说，分析是怔题和解题的先导。所谓分析，就是先从命题的结论着手，看看使结论成立的条件是什么，再看看证明了哪些才能导致结论的成立。当然，在许多命题中不是经过这么一步就能推得的。这样逐步追查其成立的原因，直至达到已知的条件为止，这种由结论逆求至已知条件，并且使它步步可逆的思维方法就是分析的方法。

三、间接证法

在中学几何题求解中，大家对间接证法（反证法和同一法）的接受往往比直接证法来得困难，有的甚至对反证法抱着怀疑的态度。其原因之一是在于，大家还不明确为什么有些命题要用反证法去论证，反证法中如何去“反“；怎样才算用反证法证明了一个命题等等。至于同一法也是一样，虽然有的学生也偶然运用同一法去证明某些命题，但却往往都不是自觉的。所以在这里谈谈有关反证法和同一法方面的知识。

（一）反证法

反证法是由于需要提出来的。对这个定理的直接证明我们很难找到一个较好的简单方法。但却易用反证法给予证实。

应用反证法证题时最后引出的结论，是否必须与题设矛盾？引出的结论与题设发生矛盾，是符合反证法实质的。但有时引出的结论与公理、定义和定理发生矛盾，或者引出的结论与证题时的假设、作图等发生矛盾也是可行的。因为这些公理、定义、定理或假设、作图等可以说都是扩大了的题设，仍属于题设的范畴。

在反证法中，由于否定结论（求证）中的事项有一面的也有不只一面的，因而反证法又可分为两种，即归谬法 只否定结论中事项的一面。如前面例4就是属于归谬证法的。

穷举法 否定结论中不只一面的，此时必须面面驳倒，才能证明原来的结论是正确的。

（二）同一法

什么叫做同一法，它的实质是什么？同一法和反证法一样属间接证法，反证法是间接的证明命题的逆否命题，而同一法是在同一原则下间接的证明命题的逆命题。这里必须强调的就是要在同一原则下，才能运用同一法。因为只有在这种特殊情况下，命题与其逆命题才是等价的，即若其中一个成立则其余一个也必然成立，所以我们才能用证明逆命题的方法来代替证明命题，这就是同一法的实质。

什么叫做同一原则？什么时候才能应用同一证法？一个命题其题设中的概念范围与结论中的概念范围是同一的关系，不是从属的关系，因而这钟命题一旦成立，则其逆命题也必然成立，反之亦然。

如何应用同一法去证明一个命题呢？一般都是先做出一个符合结论（求证）中的图形，然后去证明这个图形就是题设的图形。

（三）反证法和同一法的异同和关系

反证法与同一法都是间接证法，前者是证明命题逆否命题，后者是在同一原则下，证明命题的逆命题，他们的可靠性都是无可否认的。

一般说来，凡是能够用同一法证明的命题都可以改用反证法去证明。相反，能用反证法证明的命题就不一定都可以用同一法去证明。因为每个命题并不一定都能符合同一原则。

四、三角方法

人们都熟知，三角学是几何中派生而来得。因此，利用三角中的一些定理，公式来论证或求解几何命题应该说是理所当然的。在数学上，为了使学生能综合运用各部门数学知识，多掌握一些证题和解题的方法和技巧，常提倡用三角方法或者用几何与三角相结合的方法来处理几何命题。

在证题时，为了使线段的长度便于统一，常常设一个三角形的三条边为a，b，c，而把其他有关的线段，如三角形的中线、高、角平分线等的长度，应用公式用a，b，c来表示，三角形的其他元素如三角A，B，C也可以用余弦定理以a，b，c三边之长来表示其大小，至于三角形的外接圆直径、内切圆半径以及三角形的面积等等也都用a，b，c来表示。这样会使证题、解题方便。

总之，在论证求解几何命题时，应该提倡介入三角方法并与几何图形的性质相结合来分析命题，寻找证题或解题的途径，一般说来，凡可归结为解三角形的问题都可用三角方法来解题或证题。

五、翻折法

每一种几何解题方法都有自己的特点和适用范围。基于图形成轴对称的翻折法，是从图形之间的联系、图形的运动和变化中来驾奴整个解题过程，论其本质是一种全等变换。翻折法以直觉思维为启示，逻辑思维作推导，故它是这两种思维相辅相成的一个范例。翻折法解题，直观性强，推理简捷，思路通顺。很多几何问题用翻折法来解十分方便。

在用翻折法解题中，必然要用到各方面的几何知识，只有揉翻折法与各种解题法于一体，才能收到良好的解题效果。

六、“设而不求”法

解析几何中的圆锥曲线是高考的重点、难点和热点，而其中的计算是困难的。如何避免求交点，从而简化计算，也就成了处理这类问题的难点与关键。这里介绍一种方法――设而不求。这实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用。

七、数形结合方法

在数学解题中，往往会出现的习题，此时单靠自己想象是不行的。我们还要辅以图形。这样就可以使抽象事物形象化。这就是“数形结合法”。

每一种几何解题方法都有自己的特点和适用范围。哪些几何命题适用于那种解法都是确定的。因为这完全地取决于命题的已知条件和结论中的图形的性质。当然，任何一个科学的几何命题，它的解法并非是唯一的。但多种解法并非都是合适的，从中选取最合适的解法，才能在分析问题和解决问题的过程中披荆斩棘。使无从落笔转化为得心应手，从而达到解决问题的目的。我们再学习几何时，要特别重视对多种解法的研究与运用，因为他们是证题和解题的依据。