职业学校数学最值问题的解题方法的探索与归纳

摘 要：最值问题是数学领域中的重要研究内容，他不仅仅只在教学中解决数学问题，而且经常运用于解决实际问题。在各领域的核算中，常常遇到一些解决在满足一定条件下怎样使产出最多、效益最高但投入最小等之类的问题。而这些生活和工作问题一般都可以转化为数学中的最值问题来分析研究。对于毕业直接面对工作的职业学院学生，具有重要的实际意义。本文对解决最值问题的方法进行了分类探讨，并归纳出三大类求解方法。

关键词：职业学校 数学 最值问题

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）05（a）-0023-03

如何能提高效益获得最大利润，是每一个公司、工厂花大力气去实现的梦想。如何去实现公司的这一梦想，就是职工们所须努力的方向。实现最大利润的最简单方法就是减少支出、增加收入，而恰恰这两个方法都涉及到数学中的最值问题的求解。作为以直接面对就业而进行学习的职业学院学生，除了加强技能学习以外，如果能具备为公司提高效益的能力，在就业的竞争中就能增加自己的竞争力。因此，最值问题的求解在职业学校数学教学函数中是一个必不可少的重要内容。由于最值问题的概念性很强涉及知识面很广，对于学生的分析能力和逻辑推理能力要求较高，因而如果不能分类分析最值问题的求解，则学习的难度会变大。要学好这部分内容，只有透彻地理解题意，熟练地分类掌握常用的解题方法，才能收到较好的效果。方晓华等认为使学生能运用各种求值的方法，正确、迅速地解决有关最值的实际问题，是函数最值问题教学的主要任务[1]。本文就最值问题进行分类分析并讨论其解题方法。

1 利用数形结合的方法，分析数据图解决的最值问题

在现今经济和工业生产中，大多企业都会引入ISO管理体系。而这个体系为我们提供了大量的数据，通过数据我们可以在直角坐标系上画出一个经营状况的图像。我们从数形结合的学习中发现，图像可以告诉我们函数式中难以找到答案。

下面我们来分析一下利用数形结合解决最值问题的方法。

1.1 观察法

（1）对于一次函数，我们可以直接观察其函数图像可以解决其最值问题（见图1）。

例1：求函数在的最大值。

解：作函数的图像，

从图上可见函数在，

上有最大值。

（2）通过观察函数图像，寻找解题的途径。

例2：环保器材公司销售一种市场需求较大的新形产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量y（万件）与销售单价x（元）存在如图2所示的一次函数关系，每年销售该种产品的总开支z（万元）（不含进价）与年销量y（万件）存在函数关系z=10y+42.5。

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）写出该公司销售该产品年获利W（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额）；当销售单价x为何值时，年获利最大？最大值是多少？

（3）若公司希望该产品一年的销售利润不低于57.5万元，请你用2小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围。在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？

2 利用公式变换，从繁琐的工作计算中解决最值问题

在现今的工作中有好多时候是需要通过多部门合作来完成的，在每一个部门的工作中都有他们自己的一套工作方式。而根据现代管理模式，工作方式的效率是可以演变成一条函数式即效率计算公式。所以不同的部门，会有一条不同的效率计算公式，如何从中提炼出最有效率的工作方式，我们可以利用函数的公式变换来解决这个最值问题。

2.1 判别式法

如果给定函数是二次函数的问题或变形后能视为二次隐函数（一元二次方程），则该函数的最值可用此法求解[3]。这些函数经过适当变形后，可整理为关于的二次形。由于x为实数，所以，此类函数可以用判别式求最值。但要注意把变形过程中函数值域扩大（或缩小）的部分去掉（或找回）。

例5：已知函数求其最值（见图4）。

2.2 不等式法

基本不等式是求最值问题的重要工具，灵活运用基本不等式，能有效地解决一些不等式约束条件下的二元函数最值问题[4]。当函数的解析式中含有 A+B，（A≥0，B≥0）形式时，可利用基本不等式的性质A+B≥2（A≥0，B≥0）

当且仅当A=B时取等号，把函数进行放大缩小。

使用不等式法求最值问题时，学生常常会出现以下几个错误：（1）忽视了正数这一条件；（2）没有注意当且仅当这些正数相等时，它们的积（或和）才取最大（或最小）值；（3）对均值不等式中等号成立的条件生搬硬套；（4）连续进行几次不等式变形，并且各次不等式中的等号不能同时成立而造成的错误[5]。

3 利用不同领域的方法，高速解决最值问题

通过前面两种方法的讨论我们发现都可以解决工作中遇到的最值问题，但是画图和公式变换需要较长的时间。部分特定最值问题我们可以利用求导和求模的方式来解决，大大提高求值的计算速度，由此可以提高我们解决问题的效率。

3.1 求导法

求最值的问题是导数应用中比较重要的问题，在生产和科研中应用较多[6]。利用高等数学的导数方法求值通用性较强[7]。求导法所使用的对象是可进行求导的连续函数。根据闭区间上连续函数的性质可知，函数是在闭区间上连续的函数，在上一定存在最大值和最小值。并通过求函数的一阶函数的方法，可求解函数的最值。

例7：用边长为48厘米的正方形钱皮做一个无盖铁盒，先在四角分别戳去一个相同的小正方形，然后把四周折起焊接起来（如图5、图6）。

问截去小正方形的边长为多少时铁盒容积最大？最大容积是多少？

解：设截去的小正方形的边长为x厘米，则铁盒底边长为48-2x厘米，其容积V为：。

问题归结为：求x为何值时，函数V在区间（0，24）内取得最大值，最大值是多少？

3.2 求模法

求模法所使用的对象是由多个带根号的整式求和或差所组成的函数。利用复数方法解最值，运用到复数的模以及绝对不等式的性质来解题，使题目更简单化，利用复数不等式就是：

分析：由已知可以构造两个复数，，则于是运用复数的绝对不等式就达到解题目的。

通过对函数最值解题方法的分类汇总，我们知道最值在函数值的计算上的重要性，并可以通过最值的求解，深入到最值的求解方法，使得我们在对函数最值的把握中能够更加得到准确，使得职业学校毕业生在毕业后的工作中能更好地使用最值问题解决实际工作中所出现的问题。

参考文献

[1] 方晓华，吴凤香，黄宝存.函数最值问题的解法探讨[J].金华职业技术学院学报，2002，2（2）：51-53.

[2] 戚雪敏.浅谈求函数最值问题的方法[J].基础教育论坛，2011（11）：25-26.

[3] 戴宝尔，李杏莲.初等方法求解函数最值问题[J].科技资讯，2008（20）：199-199.

[4] 刘南山.不等约束条件下二元函数最值问题的解法[J].数学通讯，2003（11）：13-14.

[5] 张天雄.利用重要不等式求函数最值问题应注意的几个问题[J].中学数学，1996（8）：22-23.

[6] 董国阳.关于求函数最值问题的探讨[J].科学探索，2011（11）：9.

[7] 吉艳霞.求函数极值问题的方法探讨[J].运城学院学报，2006，24（5）：80-82.