埃特金迭代法在债券到期收益率计算中的应用

摘要：在现金流间隔不规范的情况下，债券到期收益率的计算比较复杂，可考虑应用埃特金迭代法进行计算。本文首先介绍了埃特金迭代法的推导过程，然后给出了现金流间隔规范情况下分别应用IRR函数和埃特金迭代计算债券到期收益率的示例，并给出现金流间隔不规范情况下应用埃特金迭代计算债券到期收益率的示例；最后在债券市场价格的正常范围内和理论极端情况下，探讨了应用埃特金迭代法时更合理设置初值的方法。

关键词：到期收益率 埃特金迭代法 IRR函数 现金流间隔

票息率

债券到期收益率是使得未来现金流贴现之和等于债券现在价格的内在收益率，是计算出来的债券指标，是市场流行的债券收益率表述方法，而非真实债券年收益率。当市场利率上升时，债券价格下降，债券到期收益率上升；当市场利率下降时，债券价格上升，债券到期收益率下降。

债券到期收益率实现的假设条件包括：一是票息必须以同样的到期收益率进行再投资，二是所有现金流的折现率相同，三是收到票息的同时须立刻投资出去。按照上述假设条件，在现金流间隔不规范的情况下，债券到期收益率的计算比较复杂。本文研究了如何应用埃特金（Aitken）迭代法计算债券到期收益率。

埃特金迭代法介

埃特金迭代法是数值分析1中的内容，其推导过程如下。

将非线性方程转化为等价形式，若存在，使和成立，则称为的一个解。

设是附近的某近似值，可以得到，如此反复，构造迭代公式，，称为迭代函数。

对于收敛的迭代过程，迭代公式校正一次得，为方便应用Excel进行迭代计算，令，由微分中值定理知：

其中介于和之间。

假设变化不大，近似地取某个值，则有

若将校正值再校正一次，又得，为方便迭代计算，令，同理

公式1与公式2联立，消去未知的，得到：

由此推知：

于是得到埃特金加速迭代法如下：

由推导过程知，埃特金迭代法是利用两次迭代巧妙构造的新迭代公式；由及，可以证明2，表明序列的收敛速度比的收敛速度快。

埃特金迭代法的具体应用步骤如下：

1.将一般方程改写成的形式；

2.设置初值，计算，及；

3.进行迭代计算，直至，是根据需要设定的精确度位数。

根据埃特金迭代法特点，在给出适当初值的前提下，可以应用埃特金迭代法快速求解出债券到期收益率。

现金流间隔规范的债券到期收益率埃特金迭代计算

由债券到期收益率的定义知道，如果债券每年付息一次，每次付息金额相同，债券到期收益率计算公式为：

式中：P 表示债券价格；C表示票息金额；F表示债券面值；表示到期收益率；N表示债券期限；t表示现金流到达时间（期）。

公式4是关于债券到期收益率的N次方程。在具体求解时，Excel试算法简单，但需要多次调试，较为繁琐，在此不做介绍；IRR函数适用于求解现金流间隔规范的债券到期收益率情形，现举例说明。

例1.某剩余期限为5年的国债，票面利率8%，面值100元，年底付息1次，市场价格为102元。

现金流 -102 8 8 8 8 108

IRR（）= 7.5056%

应用IRR函数求解出该债券到期收益率为7.5056%。

下面应用埃特金迭代法求解现金流间隔规范的债券到期收益率，数据如例1所述，根据现金流折现原理，该债券到期收益率满足：

给出的非线性表达式：

选择合适的初值进行埃特金迭代计算，直至债券到期收益率的近似解满足，在此设定精确度位数为6，下同。埃特金迭代的Excel具体实现如图1所示。

操作步骤：

1. A列的序号及单元格B2中的数据是直接输入的，在价格波动不大的情况下，债券到期收益率接近票息率，所以B2中的初值选择输入票息率。

2.在单元格D2中输入计算式：

即埃特金迭代法中的计算。

3.在单元格E2中输入计算式：

即埃特金迭代法中的计算。

4.在单元格B3中输入计算式：

即埃特金迭代法的计算。

5.在单元格C3中输入逻辑函数：

=IF（ABS（B3-B2）

6.下拖单元格D2、E2至D3、E3，然后下拖单元格B3、C3、D3、E3，经过6次迭代计算，C列中出现“最后结果是：0.075056”，即求解出债券到期收益率7.5056%。

在现金流间隔规范的情形下，埃特金迭代法求解出来的债券到期收益率与大家熟悉的IRR函数求解出的数值相同。

现金流间隔不规范的债券到期收益率埃特金迭代计算

当债券现金流间隔不规范时，如第1年年底付息1次，第2年半年末和年底各付息1次（每年付息2次），也就是说奇数年付息1次，偶数年付息2次，产生类似现金流或间隔更不规范时，则无法应用IRR函数求解出债券到期收益率。下面应用埃特金迭代法求解现金流间隔不规范的债券到期收益率。

例2.某剩余期限为5年的国债，票面利率8%，面值100元，第1年年底付息8元，第2年半年末和年底各付息4元，第3年年底付息8元，第4年半年末和年底各付息4元，第5年付息8元及偿还本金，当前市场价格为102元。根据现金流折现原理，该债券到期收益率满足：

给出的非线性表达式：

埃特金迭代的Excel具体实现操作如下。

1.以例1中图1为基础，直接输入A列的序号及单元格B2中的数据，B2中的初值选择输入票息率；

2.在单元格D2中输入计算式：

3.在单元格E2中输入计算式：

4.单元格B3中的计算式输入及单元格C3中逻辑函数的输入与例1的操作相同。

5.同例1一样下拖单元格，经过7次迭代计算，C列中出现“最后结果是：0.075641”，即求解出债券到期收益率为7.5641%。

下面考虑更为复杂的债券现金流情况。

例3.假设有一特殊的企业债券，剩余期限为6年，票面利率10%，面值100元，第1年年底付息10元；第2年1季度末付息2.5元，半年末付息2.5元，年底付息5元；第3年每个季度末付息2.5元；第4年半年末付息5元；第5年1季度末付息7.5元，年底付息7.5元；第6年年底付息10元及偿还本金；当前市场价格为97元，则其到期收益率满足：

给出的非线性表达式：

埃特金迭代的Excel具体实现如图2所示。

操作步骤：

1.直接输入A列的序号及单元格B2中的数据，B2中的初值暂且输入票息率。

2.在单元格D2中输入计算式：

3.在单元格E2中输入计算式：

4.单元格B3中的算式输入及单元格C3中逻辑函数的输入与例1的操作相同。

5.同例1一样下拖单元格，经过384次迭代计算，C列中出现“最后结果是：0.108897”，即求解出债券到期收益率为10.8897%。

例3中，在设置票息率为初值的情况下，应用埃特金迭代法要进行多次迭代计算才能得到满意的数值解，所以需要探讨寻找更合适的初值，减少迭代次数，快速得到数值解。

埃特金迭代法初值设置探讨

在债券价格波动不大的情况下，票息率与到期收益率比较接近，所以通常将票息率设置为埃特金迭代法中的初值。在债券价格波动较大的情况下，如设置初值为票息率，则需要大量迭代次数才能计算出数值解，有时还可能出现无法计算的情况，因此需要寻找更接近于真实到期收益率的初值进行迭代计算。对于计算现金流间隔不规范债券的到期收益率，下面给出价格处于正常合理范围内初值的设置方法，及理论上极端价格情况下初值的设置思考。

（一）埃特金迭代初值的设置方法

首先将现金流间隔不规范的债券简化成间隔规范的债券，然后应用IRR函数求解出该简化债券的到期收益率，将之设置为埃特金迭代法中的初值并进行迭代计算。如例3，将该特殊企业债券的现金流简化为：前3年年底各付息10元，第4年年底付息5元，第5年年底付息15元，第6年年底付息10元及偿还本金100元的年度间隔规范债券，债券当前市场价格为97元；由IRR函数求解出该简化债券到期收益率约为10.6%，即IRR（-97，10，10，10，5，15，110）=10.6%；将10.6%设为例3中埃特金迭代法的初值，进行7次迭代计算即可得到数值解10.8897%，大大减少了迭代次数。

结合例3，假设债券的当前市场价格为80元，将票息率10%设为埃特金迭代法中的初值，按其应用步骤计算出，将数值-4.7969代入单元格E2中的表达式，则式中有许多项无法计算，如第3项，因此迭代不能进行，主要原因是初值10%距离较远；若将由IRR函数求解出的简化债券的到期收益率15.2%设置为初值，进行10次迭代计算就能得到满足精确度要求的数值解15.6376%。另假设上述债券当前市场价格为120元，将票息率10%设为埃特金迭代法中的初值，需要进行268次迭代才能得到满足精确度要求的数值解6.0301%；若将由IRR函数求解出的简化债券到期收益率5.9%设为初值，进行5次迭代就能得到数值解6.0301%。在例3中，如果假设债券的当前市场价格分别为80、90、95、97、100、105、108、110、120和130元，通过改变相应单元格中价格和初值的设置，表1给出了埃特金迭代法初值设置的敏感性情况，凸显了初值设置的重要性。

（二）极端价格情况下埃特金迭代法初值设置思考

由债券的凸性可知，当债券价格上升到一定程度后继续上升时，其到期收益率下降的幅度越来越小，对价格的敏感性减弱，埃特金迭代法初值的设置受其影响较小，将IRR函数求解出的简化债券到期收益率设置为初值即可。当债券价格下降到一定程度后继续下降时，其到期收益率上升的幅度越来越大，对价格的敏感性急剧增强，不利于初值的设置。随着债券市场价格下降至理论上的极端价格，如20元，初值可能需要在IRR函数求解出的简化债券到期收益率基础上进行修正，如乘以（1+票息率），否则将出现不能计算的情况，迭代无法进行。

在例3中，假设理论上的债券市场价格为500元，将由IRR函数求解出的简化债券到期收益率-19.3%设置为的初值，进行5次迭代计算得到满足精确度要求的数值解-19.4845%。另假设理论上的债券市场价格为20元，将由IRR函数求解出的简化债券到期收益率63.2%设置为的初值，埃特金迭代不能进行，主要原因是的初值63.2%距离较远；现将63.2%进行修正，乘以（1+票息率10%）得到69.5%并设之为的初值，进行18次迭代计算得到满足精确度要求的数值解67.6019%。随着债券市场价格继续深度下降，埃特金迭代法的设置可能需要根据实际情况做进一步修正。但极低（高）的债券市场价格只是理论上给出的，在现实中几乎是不存在的。

注：1.数值分析也称作计算数学，主要内容包括高次代数方程近似解的迭代方法、线性代数方程组求解的高斯法等系列方法、微分方程的近似解及边界问题、以插值法为基础的函数数值逼近问题、矩阵特征值的求法等，还包括解的存在性、唯一性、收敛性和误差分析等理论问题。

2. 具体证明过程为：由埃特金加速迭代法（公式3）知：

由于，及，因此可得