预条件的Jocobi迭代法的收敛性及其谱半径的比较定理

摘 要 利用一种新的预条件矩阵讨论了预条件Jacobi迭代方法,得到了比较定理,并且揭示了预条件Jacobi迭代方法的收敛速度和参数之间的关系.

关键词 预条件矩阵;Jacobi迭代方法;比较定理;谱半径.

中图分类号：TU973文献标识码： A

Preconditioned Jacobi iterative method and comparison theorems

XUE Wei

(Gansu Construction Vocational Technical College, Lanzhou, 730050, China)

Abstract:With the aid of a new preconditioned matrix , the preconditioned Jacobi iterative method is discussed. Some comparison theorems are obtained , and the relation between the convergence rate of preconditioned Jacobi iterative method and the parameters is brought to light .

Keywords:preconditioned matrix ; Jacobi iterative method ; comparison theorems ; spectral radius

1 引言

求解线性方程组

（1）

时,通常通过预条件的方法加速迭代法的收敛性,即在方程组的两端同时左乘一个非奇异矩阵,使方程组变为

（2）

2004年,Niki等在文献[1]中引入了几种预条件矩阵,,和.对于系数矩阵为矩阵时,它们都能加快Jocobi迭代法的收敛速度.同时,还有文献[2-4]中提出的预条件矩阵等.本文给出一种新的预条件矩阵:

其中

.

论述了在一定条件下该预条件Jocobi迭代法为收敛的,同时从数值例子上可以说明该方法的优越性.

为讨论方便,假定是具有单位对角元素的非奇异矩阵,若,其中,则分裂迭代法可表示为:

(3)设,其中,分别是矩阵的严格下三角和严格上三角矩

阵.此时,,得到经典的Jocobi迭代法的迭代矩阵.

预条件后

其中,令,,,分别是的对角,严格下三角和严格上三角矩阵.

则预条件后

其中,

(4)

如果是非奇异的,则在预条件下Jocobi迭代法的迭代矩阵

2 相关的定义和引理

2.1 几个定义

定义 如果一个 矩阵满足:时,,是非奇异的且,则称为非奇异矩阵.

定义 对于实矩阵,和,是的一个分裂,如果,,则是的正规分裂;如果,,则是的弱正规分裂.

定义 设是的正规或弱正规分裂,则的充要条件为.

2.2 几个引理

引理 设非奇异矩阵且,满足,那么有

(1),都存在,并且还有;

(2)的每个特征值为正值;

(3).

引理 设是的两个弱正规分裂且,若满足下列条件之一:

(1);

(2),;

(3),,.

3 结论

定理1 设非奇异矩阵,和分别是和的Jocobi分裂,如果,则有

.

证明 由于.所以有是非奇异矩阵,从而,.

因此.另外,也是非奇异的.

其中,,

,则

,.

由定义2可知为的弱正规分裂.

另一方面,,其中,,有,

,则也是的弱正规分裂.

下证:.

由于,显然是一个矩阵,并且,

所以,由定义1可知为非奇异矩阵.

.

由引理1(1)知,而,由引理2(3)知又.

所以有,.

定理2 设非奇异矩阵,和

分别是和的Jocobi分裂.如果

.则有

.

证明

,

其中,,

.

同理

,

其中,,

.

则由定理1的证明可知D都是的弱正规分裂,

因,所以有,即.

并且是非奇异矩阵,从而,由引理2(1)知

,而,,

所以有,.

参 考 文 献

[1] Niki H,Harada K,Morimoto M, et al. The survey of preconditioners

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[2] 石艳超,徐安农. 预条件Grass-Seidel 迭代法. 桂林电子科技大学

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[3] 李爱娟，畅大为. 预条件Jacobi迭代法及比较定理. 西北师范大学学报,2005;

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