用形变迭代法计算刚架

摘 要：传统的结构力学中，对于计算刚架的变形及弯矩，通常采用位移法与迭代法的利用变形协调原理。但是随着计算机在工程计算中的大量运用以及计算程序升级日新月异。在实际工程计算及实践中，机器代替手工计算已经成为不可逆的时代潮流，但是必要的手算作为一种校核工具仍需被广大工程人员所掌握，文章所论述的方法，希望能为广大工程师在实践工作中提供参考。

关键词：刚架；建筑结构；形变迭代法

中图分类号：TU328 文献标识码：A 文章编号：1006-8937（2013）03-0031-04

杆系节点支撑一般均属于弹性节点，介于铰接与固接之间，刚架节点多属这种类型。刚架在外荷载作用下，各节点要产生变形，如果这种变形为已知时，全部静定量值都很容易计算出来，则各杆端弯矩即能确定。静力学的目的就在于计算内力。为了计算方便，正负号的规定与《建筑结构静力计算手册》用迭代法计算刚架符号规定是一致的。杆端弯矩及角度沿顺时针旋转为正，反之为负；杆端剪力对邻近截面所产生力矩沿顺时针方向为正，反之为负；水平外力自左向右作用为正，反之为负。

1 无侧移的刚架计算

刚架在外荷载作用下，节点要产生角变，可视为三种变形状态的叠加。叠加如图1（a，b，c）三种状态，便得角变位移方程如下式：

Mik=mik+θ+θ（1）

式中：为i-k杆线性刚度，用K代表；2Eθ为角变，以α代表（α=2Eθ）。

代入（1）式，得：

Mik=mik+2Kik+Kkiαk（2）

式中：mik为加荷后i-k杆在i端引起的固端弯矩；αi为由于i-k杆的杆端i的弯矩而在i端产生的各个链接i节点的杆共同转角，称为i端角变，通称该端角变；αk为由于i-k杆的杆端k的弯矩而在k端产生的各个链接k节点的杆共同转角，称为k端角变，通称该端角变。

根据平衡条件，在任一个节点上如i节点相交有一组杆件，全部杆端在i节点上的力矩代数和应等于零

-iMik=0故（2）式有：

（i）mik+2（i）2Kik+αi+（i）Kkiαk=0

式中：（i）mik为连接i节点杆在i节点的固端弯矩代数和，为节点抵抗矩，用mi表示（i）mik=mi。

有：αi=-（mi+iK+αk）

令：ξ=-为角变传递因数

即：αi=ξ（mi+iK+αk）（3）

利用这个简单式子在各个节点上反复进行演算，从节点到节点计算时可以任意顺序进行，开始时他端的角变没有修正的近似值，设它为零，这样便可获得全部该端角变，记录在计算图中。计算下去可得任意理想的精确值。计算步骤详见以下例题，由于自始自终只用一个简单算式演算，将循环计算可能产生的错误可以自动的消除。

本例题选自《建筑结构静力计算手册》第328页题（7-5）已知一多层刚架（见图2），杆件的线性刚度值标在各杆相应的杆侧，按无侧移刚架求算各杆件的端弯矩值。

解析过程如下：

①杆件的固端弯矩mik。

mAB=-mBC=x

18.75×42=25kN-M

mCB=-mBC=x

18.75x82=100KN-M

mFE=-mEF=x

200×8=200kN-M

写在计算图3相应杆件的两端。

节点的不平衡弯矩mi，节点B。

mB=BmB=mBA+mBC=25-100=-75KN-M

其它节点的不平衡弯矩可同样算出，写在计算图3的节点方格第一行。

②角变传递因数ξ，如节点B。

ξB=-=-=-0.208

其它节点的角变传递因数可同样算出，写在图3上各个节点方格第二行。

③该端角变αi，节点的计算。

其顺序按BECFAD进行，首先假定各节点的αk=0即得第一次近似值，如节点B：

αB=-0.208（-75）=15.60

其它节点的计算照此进行，将算得的各值均写在图3方格内相应位置上。

αi第二次近似值的计算，为和手册上取得一致仍从节点B开始：

αB=-0.208（-75+0.6×5.62+0.8（-35.21）+1.0（27.11））=15.12

其它节点的计算照此进行，如此循环下去达到理想精确值为止，一般三次循环足够工程需要。

④杆端最后弯矩Mik如节点B用（2）式：

Mik=mik+2Kikαi+Kkiαi

MBA=25+0.6（2×11.41+8.64）=43.87kN-M

MBE=0+0.8（2×11.41+34.86）=57.68kN-M

MBC=-100+0.8（2×11.41-24.21）=-101.12kN-M

其它节点照此进行，填写在弯矩图4相应位置上。

注：其一，实际为固定的杆端，如最下层的柱角，任意的变形其角变为零；其二，当柱或梁的一端为铰接时，在其固端弯矩求得后，将铰接杆用固定杆代替，但代替杆的线性刚度K'=K；其三，当刚架形式及荷载均为对称时：偶数跨，对称中心线通过柱，只要计算对称中心线一边的半个刚架即可，轴上节点不动。奇数跨，对称轴铣在跨中，固端弯矩算出后，对称轴线上的杆用一个固定杆代替，代替杆的线性刚度为实际刚度一半，K'=K。

2 有侧移的刚架计算

刚架在外荷载作用下，节点不仅产生转角，还要产生线位移，可视为四种变形状态的叠加，如图5（a，b，c，d），前三种变形状态完全和无侧移刚架计算一样，因为刚架有侧移，就增加由杆端i移动Δ引起一个侧移角，于是角变位移方程：

Mik=mik+θ+θ-（4）

令：Ψ=-

即：Mik=mik+2Kikαi+Kkiαk+KkiΨki（5）

Ψ表示同一层各柱由于节点线位移引起的侧位移通称位移角。

根据连接节点i的各个杆端在节点的弯矩代数和等于零的条件iMik=0，（5）式有：

mik+2Kikαi+Kkiαk+KkiΨki=0

即：αi=-i+iKKi（αk+Ψki）

从上式中可以看出，该端角变计算与上节无侧移的刚架计算完全一样，只是有了位移角。

令：ξ=-称为角变传递因数。

即：αi=ξi+iK（αk+Ψki）（6）

为有侧移的刚架计算该端角变公式。

2.2 垂直荷载作用下有侧移的刚架计算

刚架在外荷载作用下，任一层γ柱顶切断取上部为脱离体如图6所示，任一柱i-k剪力：

Qik=-

因为梁柱为等截面，Kik=Kki为符号统一，以下均用Kij代表，同一层的所有柱假设为等高，位移角ψ各柱均相等，以下用ψγ代表。

根据平衡条件γQik=0，将（5）式代入上两式：

=Q=（2Kαi+Kαk+Kψγ+2Kαk+Kαi+Kψγ）

即：ψγ=-γK（αi+αk）

令：λγ=-为位变传递因数。

即：ψγ=λγγK（αi+αk）（7）

上式说明任意层γ全部柱的位移可以从该层各柱的角变中求得。计算时，先计算角变（同上节），再计算位移角。用（6），（7）这两式交替循环进行，开始位移角也没有修正的近似值，取零值。

2.3 水平荷载作用下有侧移的刚架计算

多层刚架在水平荷载作用下，任一层γ柱顶切断取上部为脱离体，如图6考虑平衡。

P-Qik=0

任一柱顶剪力为：

Qik=Q-

将（5）代入上两式：

P-Qik++=0

式中：Qik为固端剪力。

令：Qγ=P-γQik为楼层剪力。

令：mγ=为楼层力矩。

即：Ψγ=-+γK（αi+αk）

令：λγ=-为位变传递因数。

即：Ψγ=λγγ+γK（αi+αk）（8）

这个位移角的计算式与在垂直荷载作用角变的演算式大体相同，将αi用ψγ代换，ξi用λγ代换，和i用

γ代换就完全相同了，它们具有完全的几何相似性。

计算角变演算式是观察各个杆件弯矩传递而得，当杆件把弯矩传到节点，使节点产生一个转角，这个转角与连接该节点的各个杆件线性刚度成正比，计算位移角的演算式是从观察楼层各个柱产生侧移而得，由于楼层力矩的作用，产生位移角，与相应的线性刚度成正比.

从这里可以看出，考虑侧移所增加的计算工作和不考虑侧移，节点数目是相同的，只要增加了楼层的数目。

3 结 语

从以上论述及例题计算，我们可以看到，位移法与迭代法是利用变形协调原理，综合传统计算方法精炼出的一种形式，刚架计算方法计算过程简单、实用，在实际工程中有很好的应用价值，在当前计算机普及阶段的时期，用来校核计算机计算结果会有一定帮助作用。

参考文献：

[1] 雒国昌.用形变迭代法计算简单和复杂刚架[J].建筑结构，1996，（5）.