关于导数应用的复习备考

导数自从下放高中后，使中学数学和高考备考发生深刻的变革，为学生以导数为工具研究函数的变化率，解决函数单调性及极值问题提供了更有效、更简便的捷径，体现了中学数学需要不断知识内容更新、与时俱进。下面笔者从考点内容及近年考率分析，以提高学生的解题能力。

一、几种类型的解法

1. 求函数的单调性与最值（极值）

求函数的单调性增减区间的方法是：

例1已知函数f（x）=-x +6x +9x+a；（1）求f（x）的单调减区间；（2）若在区间［-2，2］上最大值为20，求它在该区间上的最小值。（05年北京高考）

解：f（-2）=2+a，f（2）=22+a， f（2）>f(-2)。

因为在(-1，3)上f′(x)>0，所以f(x)在［-1，2］单调递增，又f(x)在［-2，1］上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是在区间［-2，2］上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是在区间［-2，2］上的最大值和最小值。

于是22+a=20，解得a=-2

故f（x）=-x +6x +9x-2，f(-1)=-7，f(x)在区间［-2，2］上的最小值为-7。

点评:本题由浅显走向深奥，涉及求导，分出单调区间，在区间找最值。

变形题:设x=3是函数f(x)=(x +ax+b)e -x(x∈R)的一个极值点，求a与b的关系式(用a表示b)，并求f(x)的单调区间。(06年湖北高考)

(本题涉及可导函数在某一点取极值的条件，答案:b=-2a-3；当a-4时，f(x)在(-∞，-a-1］上为减函数，在［-a-1，3］上为增函数，在［3，+∞)上减函数。

2. 导数的几何意义

在某一点切线的斜率或在某一时刻的瞬时速度，就是该点或该时对应的导数，高考常结合函数f（x）在x 处的导数f′(x )是曲线y=f(x)在点(x ，f(x ))处切线的斜率来考查，涉及求切线方程、面积等。

例2设t≠0，点P（t，0）是函数f（x）=x +ax与g（x）=bx +c的图像的一个公共点，两函数的图像在P点处有相同的切线，用t表示a、b、c。（05年湖南高考）

解：因为函数f（x）、g（x）的图象都过点（t，0），所以f（t）=0，即t +at=0，因为t≠0，所以a=-t 。

又g（t）=0，即bt +c=0，所以c=ab。

所以3t +a=2bt，将a=-t 代入得b=t，因此c=ab=-t ，故a=-t ，b=t，c=-t 。

点评：以曲线为载体，与其它数学分支融合为一体，运用广泛。

二、2008年高考命题在导数部分趋势及备考建议

导数这一章仍将是2008年高考重点内容之一，重点将在求导和导数应用，若与不等式、数列有关，以及关于离散型变量的计论，作为解答题多为综合题，为中档题或以上的难度。若是选择题、填空题多为中档题或以下难度，涉及求导和导数几何意义、物理意义，以及导数的定义等知识点的应用。

复习中要深入理解和掌握导数的定义、法则及求导公式，复合函数的求导法则等方法求导，掌握利用可导函数判断函数单调性的基本方法，掌握利用可导函数求函数极值的基本方法，掌握求和在闭区间连续的函数的最值的基本方法，要准确理解利用导数定义求导，区分极值和最值两个概念，从图象上认识f（x）与f′（x）之间的关系，会利用导数的几何意义和物理意义，关键要提高知识熟练程度，从而加强理解。

导数作为数学运算工具，它的功能性强，高考命题空间大，小到基本概念题及基本公式运用题，大到与方程和不等式等知识相结合。利用分类讨论的思想方法论证或证明函数的单调性，函数的极值和最值，是近几年高考的热点。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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