关于“环杆模型”中滑动摩擦力的深入探讨与思考

1 问题的提出

（1）如图1所示，在空间竖直固定放置一正方形杆，杆上套有正方形环（所讨论的杆与环均为刚体），环受到恒力F1和F2的作用，F1和F2分别垂直于接触面且相互垂直.环与杆之间的动摩擦因数均为μ.现给环一向下的初速度，使其与杆相对滑动，分析环受到的摩擦力.

（2）若上述情况改为圆形环套在圆形杆上滑动，如图2所示，其它条件不变，分析此时环受到的摩擦力.

相信已经得到结果：μ（F1+F2）或者μF21+F22，两个答案哪一个正确？第一题答案是否就是μ（F1+F2）？哪里出现的问题？

下面对两种情况进行分析.2 问题的分析

摩擦力产生的原因很耐人寻味，因其复杂性至今我们仍没弄清真正机理.从基础研究看，我们仍采用库仑的经验公式.用f表示滑动摩擦力，μ表示滑动摩擦系数，N表示接触面上正压力大小，有f=μN.某个接触面上产生的滑动摩擦力f与其正压力N成正比.

（1）若模型为圆形杆和圆形环，如图3所示（为便于分析以下各图均转化为俯视图，力的作用点移至重心）.

此时对圆环受力分析可知，外力F1 、F2的合力F与圆环受到的杆的弹力N是一对平衡力，N的作用点与F′的等效作用点关于轴心O对称，则

（2）若模型为正方形杆和正方形环.

①若F1=F2，如图4所示.此时F1、F2的合力方向恰好沿正方形一条对角线经过棱边，分析可知在与之中心对称的另一条棱边处发生形变.弹力大小此时f=μN=2μF1.与上题过程相同.

②若F1≠F2，如图5所示.此时在F1、F2作用下，环与杆在两个面上均发生挤压，分别产生弹力N1、N2.根据力的平衡条件可得出N1=F1、N2=F2，故相对应的滑动摩擦力分别为

故两个模型之所以出现不同结果，原因在于实际问题中环与杆挤压情况不一样，产生的弹力不同，从而滑动摩擦力不同.解决此类问题我们首先应分析具体物理情境中弹力的情况，再求解相应的滑动摩擦力.3 问题的拓展

（1）若模型为正六边形杆和正六边环，用数字1～6表示环的六个面，2、6两个面分别受到垂直于面的力F1、F2（图6），两个力不再相互垂直，结果又当如何？

①若F1=F2，如图6所示.对环受力分析可得合力大小F=F1，方向垂直于1面，则4面上发生形变，N=F.则f=μN=μF1.

②若F1≠F2，能否认为在3、5面上发生形变，

b.若F2

c.若F2>12F1，此时合力F方向在Oa、Od之间，等效弹力N与F是对平衡力，则形变位置仍为3、4面.具体分析过程同上.

（2）若是不规则的多边形，受到的多个力方向不一定垂直于接触面，怎样分析其滑动摩擦力？

经过上面分析，我们已经比较清楚地看到此类问题的关键点在于分析物体有几处位置发生形变、产生弹力，具体的解决步骤如下：

①利用平行四边形法则或正交分解对外界施加的力进行力的合成，求出等效合外力F的大小和方向；

②根据平衡条件判断等效弹力N的大小和方向；

③根据具体物理模型判断有几处位置发生形变：

a.若N的方向通过某条棱或者垂直于某一个面，则形变只有一处，则f=μN=μF；

b.其余情况下有两处形变，分析相应的弹力的方向，建立直角坐标系，利用平衡条件列方程组，求解出各个弹力Nn的大小，则

（3）掌握上述方法后，请读者判断下面情况：如图9所示，若相邻的两个面受到垂直于面的力F1、F2，环与杆发生相对滑动，试讨论判断环所受滑动摩擦力大小.4 由“环杆模型”引发的进一步思考

若问题1中正方形环不是刚体，易形变，在环四个面上分别施加推力F1、F2、F3、F4，四个力分别垂直于作用面，如图10所示.环与杆之间的动摩擦因数均为μ.现给环一向下的初速度，使其与杆相对滑动，环受到的摩擦力又为多少？

因为环不再是刚体，中间正方形杆固定不动，则四个面施加上述作用力时均发生形变.对环受力分析可知，四个面上分别对应的弹力大小为：N1=F1、N2=F2、N3=F3、N4=F4，因为f=μN，则可得出四个面上的摩擦力fn=μNn，则环所受到的滑动摩擦力为

此情境中模型虽然不是刚体，物体形变情况与上述讨论也有区别，但我们分析问题的思路本质是一样的，即：分析形变位置求解相应弹力求解相应滑动摩擦力求解合滑动摩擦力.

通过上面几种情况的讨论，更有利于我们对公式f=μN的深刻理解：某个接触面上产生的滑动摩擦力f与其正压力N成正比，有滑动摩擦力一定有与其相对应的弹力.