自然数立方和公式的多种推导方法

摘 要：一题多解是培养学生发散思维的重要途径，能够很好地体现学习过程中的自主探究与合作学习过程，本文探究了自然数立方和公式的多种推导方法，从不同角度分析问题，找出事物间的内在本质和联系，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。

关键词：自然数立方和;裂项法;倒序相加法;组合数;数列

中图分类号：G658 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）22-109-02

一、预备知识

我们已经熟知公式如下：

1、（证明略）

2、

二、的推导

方法一、恒等式变形相消法

因为（）=，取=1，2，……，得

+1

上面各式相加，得

从而

方法二、配凑函数相消法

设，则

从而有

上面式子中，取，2，3，……，，得

上面各式相加，得

所以。

方法三、奇数列分组法

已知奇数列：1，3，5，7，9，11，13，15，17，……按如下方式分组（每行为一组）：

1

3，5

7，9，11

13，15，17，19

…… …… ……

可以求出第n组（第n行）的奇数列为：，……。

显然，第组的所有元素和为，于是，前个自然数的立方和就是上面分组中前组的所有奇数的和。可知共有奇数个。

从而，。

方法四、倒序相加法

设：（1）+（2）得，

所以，。

方法五、裂项相消法

所以

方法六、构造“三角”数列法

设想：，即，所以可以构造如下等腰直角三角形数列

显然，此三角数列的和即是

的和。按照每列一组的方式求和，得

方法七、组合数配凑法

先证明以下式子成立：

因为

所以

三、结束语

以上是给出了自然数立方和公式的7种推导方法，当然，我们还有更多的方法，比如图表法、数学归纳法、行列式法等。自然数高次幂的求和问题是由著名的数学家雅克布.贝努利首先解决的。我们有些方法可以推广到对自然数高次幂求和推导。从不同的角度思考问题的本质，抓住事物的内在联系，从而对培养学生的发散思维有重大意义。

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