探寻自然数平方的一些规律

关键词 自然数平方关系规律

一、相邻自然数平方之间的关系

两个相邻自然数，它们平方数之间有一定的差值，这个差值正好是这两个相邻自然数之和。如：两个相邻自然数3和4，它们的平方数：32＝9、42＝16，16与9的差是7，7正好是3与4之和。用代数式表示如下：a2－b2＝a＋b（a、b为相邻自然数，a－b＝1）。知道了这个规律，我们就可以利用它快速计算出和整十整百数相邻自然数的平方了。

二、两位自然数平方之间的规律

1、十几的平方

112＝10×12＋12；122＝10×14＋22；132＝10×16＋32；142＝10×18＋42；152＝10×20＋52；162＝10×22＋62；172＝10×24＋72；182＝10×26＋82192＝10×28＋92。

分析上式，你会发现两个乘数中都有一个10，另一个乘数都逐渐增加了2，分别为12、14、16、18、20、22、24、26、28，并且第二个乘数是第一个乘数10与被平方数个位数的2倍之和，加数正好是这个被平方数个位数的平方。比如：17的平方就等于10×24＋72＝240＋49＝289，其中的第二个乘数24是怎样得出的呢？是用10（17的十位数是1）与7（17的个位数是7）的2倍相加得出的，列式：24＝10＋7×2

2、二十几的平方

212＝20×22＋12；222＝20×24＋22232＝20×26＋32；242＝ 20×28＋42；252＝20×30＋52；262＝20×32＋62；272＝20×34＋72；282＝20×36＋82；292＝20×38＋92。

再分析二十几的平方分解式，你会发现两个乘数中都有一个20，另一个乘数分别和被平方数的十位数和个位数有关，并且第二个乘数是第一个乘数20与个位数2倍之和，加数正好是这个自然数个位数的平方。比如：28的平方就等于20×36＋82＝720＋64＝784，其中的第二个乘数36是20（28的十位上的数是2）与8（28的个位数是8）的2倍之和，列式：36＝20＋8×2

3、三十几的平方

312＝30×32＋12；322＝30×34＋22；32＝30×36＋32；342＝30×38＋42；352＝30×40＋52；362＝30×42＋62；372＝30×44＋72；382＝30×46＋82；392＝30×48＋92。

通过以上列举，可以看出其中的规律来了吗？我们可以把任意一个被平方数的十位上看作a，个位看作b，那么它的平方分解的代数式为：（10a＋b）2＝10a×（10a＋2b）＋b2。你还能够类推出100以内的其它两位数平方之间的规律来吗？我们把被平方数的十位数设为a，个位数为b，第一个乘数是与十位数有关的整十数10a；第二个乘数则是第一个整十乘数10a与被平方数个位数b的2倍之和，即10a＋2b；加数正是被平方数个位数的平方。

数字世界潜藏着无穷的规律，希望大家留意她，并有所感悟或发现。