自然数集扩充后的基数理论

摘　要: 自然 数集扩充后,其基数 理论 起了相应变化,定义与法则都需作调整以适应数学教学与 应用 的需要.

1994年11月国家技术监督局的《中华人民共和国国家标准,物理 科学 和技术中使用的数学符号》中,将自然数集记为

n={0,1,2,3,…}

而将原自然数集称为非零自然数集

n+(或n*)={1,2,3,…}.

自然数集扩充后,文[1]中的自然数的基数理论以及其他一些与自然数有关的理论 问题 随之起变化,这给数学教学与数学应用产生一定 影响 .为此,我们将自然数的基数理论讨论如下.

1　对自然数的来源的认识

由于自然数的概念是建立在基数理论[1]之上的,基数是由集合对等而来.最初人类对物品的计数,是将物品与人的手指(脚趾)数形成映射关系,物品既然存在“多少”,也就存在“有”或“没有”,“没有”即可认为是空集,其计数应当是零.这就是说,零与非零自然数是人类认识同步的客观现象,而并非是6世纪才有零的概念.也许这就是将零补充到自然数集的缘由之一.事实上,国外许多 文献 和专家早就主张将零作为第一个自然数.

2　自然数的新概念

自然数扩充后,包含了空集的基数,要去掉原有自然数定义中“非空”的限制条件,即定义1　有限集合的基数叫做自然数.根据对等的概念,可以建立n与n+的一一映射关系f:

n={0,1,2,3,…}n+={1,2,3,4,…}

由此可见,n与n+有相同的基数,即|n|=|n+|.

3　自然数的四则运算

自然数加法、乘法运算义定只要去掉原有定义中的“非空”二字即可,亦即

定义2　设有有限集合a和b,且a∩b=φ(a,b分离).若记a∪b=c,集合a,b,c的基数分别是a,b和c,那么c叫做a与b的和,记作

a+b=c.

a和b叫做加数.求两个数的和的运算叫做加法.

定义3　设有m(m>1)个相互对等,且两两分离的有限集合a1,a2,a3,…,am,它们的基数都是n.又设a=umi=1ai,a的基数记作

a,即有a=n+n+…+nm个,这个a就叫做n乘以m的积,记作a=n×m,或a=n.m,或a=nm.n称为被乘数,m称为乘数.求两个数积的运算叫做乘法.

对于数0,1,补充义定:n和0的积是0,n和1的积是n,即n.0=0,n.1=1.

在上述定义里,加法、乘法的交换律、结合律,乘法对于加法的分配律仍然成立.

关于减法运算的定义,除了去掉“非空”二字外,集合b可以是a本身,即

定义4　设有有限集合a和b,b a,若记a-b=c,且a,b,c的基数分别记作a,b,c,那么c叫做a,b的差,记作

a-b=c.

a叫做被减数,b叫做减数.求两个数差的运算叫做减法.

除法是乘法的逆运算,在原定义中要限定“除数非零”即可.

定义5　设a,b(b≠0)是两个自然数,如果存在一个自然数c,使得bc=a,那么c叫做a除以b所得的商,记作

ab=c,或a÷b=c.

a称为被除数,b称为除数.求两个数商的运算叫做除法.

4　自然数的有关性质

(1)自然数的有序性决定了自然数可以比较大小,即

定义6　如果两个有限集合a,b的基数分别为a,b,那么

1°　当a a′,a′～b时,a>b;

2°　当b′ b,a～b′时,a<b;

3°　当a～b时,a=b.

自然数有反身律:a=a;对称律:若a=b,则b=a;传递律:若a≥b,b≥c,则a≥c.

自然数从小到大的排序为

0,1,2,3,….

(2)自然数的单调性反映了不等量关系中的运算性质,扩充后的自然数其单调性有了局部性改变,即

若a≥b,则

1°　a+c≥b+c;

2°　当c>0时,ac≥bc,

当c=0时,ac=bc.

对于与自然数有关的数学论证与原理,应随自然数扩充后作相应调整.如数学归纳法证明的步骤应是

1°　验证n=0时,命题成立;

2°　假设n=k-1时成立,则n=k时命题成立.

自然数的其他理论[2],本文不再赘述.

参

考

文

献

1　麻绍芯.算术原理[m].武汉:湖北科学技术出版社,1993.

2　胡炳生.关于扩充自然数集的几个理论问题[j].数学通报,1998,(11):1～3