平面向量错解剖析

运用平面向量知识解题,常可收到化繁为简、化难为易的神奇效果. 但是,如果对向量的概念、性质、运算法则掌握不到位,则容易出现各种错误. 现举例剖析如下.

一、忽视夹角范围致误

例1 已知向量a=(2cosα,2sinα),α∈(■,π),b=(0,-1),则a与b的夹角为()

A. ■-α B. α+■?摇?摇 C. α-■?摇?摇 D. α

错解 a・b=|a||b|cos,

cos=■=■=sin(-α)=cos(■+α).

故选B.

错解分析 ∈[0,π],而α∈(■,π),

α+■∈(π,■).

故α+■不可能是a与b的夹角.

正解 a・b=|a||b|cos,

cos=■=■=sin(-α)=cos(■-α).

又 α∈(■,π),

■-α∈(■,π),

a与b的夹角为■-α.

故选A.

二、忽视按向量平移与普通平移的区别

例2 将函数y=2x的图象按向量a平移后得到y=2x+6的图象,给出以下四个命题:① a的坐标可以是(-3,0); ② a的坐标可以是(-3,0)和(0,6);③ a的坐标可以是(0,6); ④ a的坐标可以有无数种情况. 其中真命题的个数是()

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

错解选A、B、C中的某一个.

错解分析许多同学认为④不对,出现错误的原因是没有注意数形结合或没弄懂问题的实质. 向量平移和我们熟悉的函数图象的左右平移(点平移)既有联系又有区别,点平移遵循“左加右减”的原则,而向量平移则是看与x、y轴的正向相同、相异.

正解考虑到向量的平移的多样性,所以选D.

三、混淆向量的夹角和三角形的内角

例3 已知ABC中,a=5,b=8,角C=60°,求■・■.

错解 ■・■=abcosC=20.

错解分析 此解法对向量的夹角理解有误,两向量的夹角必须将它们的起点平移至同一点,■与■的夹角并不是角C,而是π-C.

正解 ■・C■=abcos(π-C)=-20.

四、忽略向量运算的条件致误

例4 设e1、e2是夹角为45°的两个单位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,求 |a+b|的值.

错解 a+b=e1+2e2+2e1+e2=3e1+3e2,

a+b=(3,3),则|a+b|=■=3■.

错解分析 上面解法中,a+b=(3,3)是错误的,虽然题目中的e1、e2是单位向量,但它们并不垂直,只有当e1、e2为单位向量,并且分别与x、y轴方向相同时,才能按上面的方法计算.

正解 a+b=e1+2e2+2e1+e2=3(e1+e2),

|a+b|=3■=3■=3■=3■.

五、向量减法法则运用错误

例5 四边形ABCD是以向量■=m,■=n为邻边的平行四边形,AC与BD交于O点,M、N分别是BD、AC上的点,且■=■■,■=■■,试用m、n表示■、■、■.

错解 ■=■-■=n-m,■=■■=■■=■n-■m,

■=■-■=-n+■m-■n=■m-■n.

又 ■=m+n,

■=■■=■m+■n.

故■=■-■=-■m-■n.

错解分析 根据向量减法的三角形法则,两个向量相减,所得向量是减向量的终点指向被减向量的终点所得的向量.

正解 ■=■-■=m-n,DM=■■=■■=■m-■n,

■=■+■=■m+■n.

又 ■=m+n,

■=■■=■m+■n.

■=■-■=■m-■n.