几何画板应用于数学实验的常见类型

[摘 要]在当前中等职业学校教学中，数学实验教学基本停留在研究的层面上，没有深入师生和课堂。运用的是传统教学模式，教学设计的中心仍是教材和教师。以几何画板为平台的数学实验教学，倡导以学生的学习为中心，对日常的中等职业学校数学教学实践具有很大的意义。

[关键词]几何画板；数学实验；应用

数学有两个侧面，一方面数学是演绎科学，另一方面数学更像是一门实验性的归纳科学。数学作为一门实验性的科学，它对学生的思维能力和创新能力的培养远比让学生会解几道题更为重要。但在目前中等职业学校的实际教学中，数学实验更多地停留在教学研究的层面上，并未深入师生和课堂。在传统教学模式中，教学内容往往是静态的，在CAI模式应用的早期，也较多地采用“演示”的手段，这种教学设计的中心仍是教材和教师。以“几何画板”为平台的数学实验教学，应倡导以学生的学习为中心的教学模式。针对上述情形，作者结合日常的中等职业学校数学教学实践，以数学软件几何画板为平台，探讨数学实验的四种常见类型：观察型实验、验证性实验、探索性实验、解题性实验。

一、观察型实验及案例

[案例1]：正弦型函数y=Asin（wx+？渍）的图像及性质。

实验环境：计算机机房，一人一机。

实验过程：

（1）教师适当指导学生画出函数y=Asin（wx+？渍）的图像，主要由学生自己动手设置参数A、w、？渍拖动鼠标来观察函数图像的变化，特别注意的变化对图像的影响。（如图1-1）

（2）讨论交流，学生独立或分组讨论A、w、？渍的变化对图像的影响。

（3）在教师的指导下，得出正弦型函数y=Asin（wx+？渍）的图像及性质的相关性质和结论。

（4）反思延伸，一是学生自己批改课前预习题的错误；二是启发学生进行三角函数图像的平移。如y=sinx通过怎样的变换变为y=2sin（2x+■）。

这样的数学实验环境下的教学改变了传统的教学方法，教学完全体现了学生的主体地位和教师的主导作用。学生在积极参与教学中，获得的是真正的数学经验，而不仅是数学结论，同时也培养了学生学习数学的热情。

二、验证性实验及案例

[案例2]：两个平面向量减法的数学实验。

若则OA=（x1，y1），OB=（x2，y2），则OA-OB=BA=（x1-x2，y1-y2）。这个结论看似简单，但从笔者教学经验看，大多数学生在学习的过程中是机械的记忆，特别是没有理解向量减法的定义，这样学生就不会灵活运用，造成学生学习中的障碍。

实验环境：计算机机房，一人一机。

实验步骤：

（1）在几何画板中作出向量OA，OB；并作出OB的反向量OB'；

（2）构造以OA，OB'为邻边的平行四边行，构造OA，OB'所夹的对角线OC，此向量为OA，OB'两个向量的和向量，也是OA，OB'向量的差向量。

（3）平移OC向量，观察OC向量与BA向量的关系。

（4）移动A、B至任意点，验证OA-OB=OC=BA这一结论；（如图2-1）

（5）度量A、B、C三点的坐标，改变A、B的位置，进一步验证OA-OB=BA=（x1-x2，y1-y2）。（如图2-1）

验证性实验强调演示和证明的活动。数学学习过程中有许多公式，定理是前人研究得出的结论。这些内容中，有的难以理解或证明。针对这些内容，可以设计一些针对性的验证性数学实验，给学生提供了一个全新的学习数学的环境，让学生亲自动手做数学，从而在感性认识的基础上，再进行理性认识。

三、探索性实验及案例

[案例3]：双曲线的定义数学实验。

在双曲线的定义教学中，笔者从多年的教学经验中发现许多教师在教学中用折纸的方法的画双曲线，具体步骤是：

（1）首先准备一张纸，在纸上画一个圆O，并在圆外取一点F。

（2）开始折纸，将圆周折起一角，使得圆周过F点。每一次折纸都有一条折痕，将这些折痕标记出来。（如图3-1）

（3）反复进行不同的折纸，只要每一次让圆周过F点就行。这样你就可以得到一系列折痕，你会发现，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓。（如图3-2）

这种折纸的数学实验会带来两个疑问：一是从直观上看，折纸的效果图是双曲线的一支，学生会误认为是抛物线。二是从折纸的过程中，由于折纸的次数多，对点、线描述得不够清晰，学生难以形成双曲线的第一定义。

鉴于以上两个问题，在教学中可以设计几何画板的数学实验来模拟折纸实验，来探求双曲线的第一定义。实验过程中引导学生将折纸的过程用几何画板展示出来。

实验环境：计算机机房，一人一机。

实验步骤：

（1）在几何画板软件上画一个圆F1和圆外一点F2；

（2）在圆上构造一点M，连接F2M，构造F2M的中垂线l（折纸实验中的折痕）；（如图3-3）

（3）依次选中点M和直线l，构造动画，并追踪l的轨迹；（如图3-4）

在这个实验中，整个实验过程都是模拟传统的数学折纸实验，但效果显然比传统的折纸实验好。从图（3-4）可以看出，折出来的曲线是两支，不是一支，不可能是抛物线，更重要的是，结合图（3-3），曲线上的点P到两个定点的距离F1、F2的距离差的绝对值是是定长|F1M|（定圆的半径），即，|PF1PF2|=R

这个实验，在模拟折纸数学实验的基础上，学生在主动实验中，亲身感受了双曲线的形成过程，从而深刻地理解了双曲线的第一定义。

在数学教学中，特别是开放性教学中，符合条件的图形或所求的结论往往是不唯一的。如何将错误的现象和结论排除掉，或将不清晰的数学现象、数学结论清晰明朗化，并最终进行严密的证明，形成正确的数学结论，传统教学通常无法做到。利用几何画板软件能较好地解决上述问题，它能显示对象的“轨迹”，对动态对象的轨迹进行追踪，使学生在实验中看到轨迹形成的动态过程及轨迹变化的动态过程，为学生清楚地观察数学现象，发现数学结论，探讨数学问题创设了较好的实验环境，从而激发学生的主体参与意识，利于学生探索正确的数学结论。

四、解题性实验及案例

[案例4]：（2008年江苏单招高考题）已知函数f（x）=lg（ax2+2ax+1）的定义域是全体实数，求实数a的取值范围。

在实际教学中，对于类似的问题，笔者确实感觉到教学中的困难，通常同一类型的问题讲解多次，学生还是会出现以下错误：一是不考虑a=0的情况；二是机械记二次方程或二次函数的判别式小于零；三是不会运用数形结合的思想。就这个问题而言，即要求出不等式ax2+2ax+1>0恒成立时，实数的取值范围。引进数学实验后，主要是引导学生画出带参数a的函数f（x）=ax2+2ax+1图像，通过改变a的值，观察图像的变化。参数a的变化，带来图形的变化，如图4-1至图4-5。图4-1至图4-5反应了参数a由负数、零、正数递增的变化的过程中，函数图像的随着参数a变化过程。学生通过动手实验，改变参数，观察动态函数的图像，很容易全面地理解这个问题，从而正确地解答出来。

在教学中，数学教师培养学生的解题能力是教学中的重点和难点。对于一些复杂的、难以理解的问题，适当地引进以几何画板为平台的数学实验往往能帮助学生更深入地理解问题，从而提高学生的解题能力。数学中还有许多问题解决的难点是突破口难以发现，或解得的结果不完整，在教学中可以引入数学实验，让学生一边做数学，一边研究数学，而不仅仅是做题，从而提高学生的解题能力。

通过以上四类实验，不难看出以几何画板为平台的数学实验教学引入数学课堂，对培养学生学习数学的兴趣、增大教学信息量、拓宽认知途径、改进概念教学、培养学生创新意识、训练学生数学思维的能力和促进数学教学观念的改变等诸多方面有积极的作用，从而最终改善数学课堂教学。

参考文献

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