“微元思想”在动量定理解题中的应用

在2014年新课标卷物理考纲中增加的内容：选修模块3-5，在主题“碰撞与动量守恒”下增加“动量定理”并作Ⅱ级要求.这就要求教师在备考过程中体现出考纲的变化.尤其是“微元思想”在动量定理解题中的应用，要想解好此类题从以下三个方面作起.

一、建立一种模型――柱体模型

对于流体问题，可沿流速v的方向选取一段柱形流体，设在Δt时间内通过某一横截面S的流体长度为Δl，如图1所示，若流体的密度为ρ

，那么，在这段时间内流过该截面的流体的质量为Δm=ρSΔl=ρSvΔt.图1

二、掌握一种方法――微元法

当所取时间为Δt足够短时，图1流体柱长度

Δl甚短，相应的质量Δm也很小.显然，选取流体柱的这一微小元段作为研究对象就称微元法.

三、运用一个规律――动量定理

求解这类问题一般运用动量定理，即流体微元所受的合外力的冲量等于微元动量的增量，即

F合Δt=Δp.

四、举例

1.液体流问题

例1高压采煤水枪出口的截面积为S，水的射速为v， 水的密度为ρ，水平射到煤层上后，①若水的速度变为零，求水对煤层的平均冲力大小为多少？②求水对煤层可能受到的最大平均冲力的大小为多少？

解析①取时间t内的水研究对象m=ρSvt，以初速度方向为正方向，根据动量定理，有：

-Ft=0-（ρSvt）v

计算得出：F=ρSv2

因此，本题正确答案是ρSv2.

②取时间t内的水研究对象m=ρSvt，以初速度方向为正方向，根据动量定理，有：

-Ft=-ρSvtv―（―ρSvtv）

计算得出： F=2ρSv2

因此，本题正确答案是2ρSv2

点评所取的的时间为Δt足够短，趋近于零时，液体柱长度Δl很短，相应得质量Δm也很小，这种取微元作为研究对象的方法，称为微元法.在水流中截取很小的一段为研究对象，等效成两种模型，一种是水流的速度减速到零，另一种是水流的速度等大反向，相当于弹性碰撞，两种情况下作用时间都为t，此类问题迎刃而解.

例2为估算池中睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强，小明在雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得1小时内杯中水上升了45 mm.查询得知，当时雨滴竖直下落速度s为12 m/s.据此估算该压强约为（设雨滴撞击睡莲后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103 kg/m3）（）.

A. 0.15PaB. 0.54Pa

C. 1.5PaD. 5.4Pa

解析设雨滴受到支持面的平均作用力为F.设在Δt时间内有质量为Δm的雨水的速度由v=12 m/s减为零.以向上为正方向，对这部分雨水应用动量定理：

FΔt=0-（-Δmv）

得到F=ΔmΔtv.

设水杯横截面积为S，对水杯里的雨水，在Δt时间内水面上升Δh，则有研究对象Δm=ρ SΔh，

F=ρSvΔhΔt，压强P=FS=ρVΔhΔt=103×12×45×10-33600=0.15（Pa）

点评此题关键是选取极小时间的水柱为研究对像，因为时间非常的短，还是估算题，所以重力可以忽略，与2016高考题35处理思想一致，竖直方向应用动量守恒，忽略了重力.

例3一水龙头以v1=20 m/s的速率喷出截面积为2×10- 4m2的水柱，水柱垂直冲击竖直墙壁后，变成无数小水滴，被墙面反弹后向四周均匀飞溅，形成一个顶角为120度的圆锥，如图2所示，若飞溅水滴的速率为2.0 m/s则，则水柱对墙壁的冲击力为多大？水的密度ρ=1×103kg/m3.图2

解析 在该问题中，重力对水柱的影响可以忽略不计，设水龙头喷水的方向为正方向.设在Δt时间内与墙壁发生碰撞的水柱质量为Δm=ρSv1Δt，设水柱受到墙壁冲击力为F.由动量定理得

-

FΔt=-Δmv2cosα-Δmv1，

F=ρSv1（v2cosα-v1）

带入数据得F=-84 N

水柱对墙壁的冲击力F′是F的反作用力，大小也为84N.

点评动量定理公式是矢量式，建立方程时要注意各矢量的方向，本题中根据对称性，把冲量分解到水平方向和竖直方向，竖直方向分冲量矢量和为零，重力比墙壁反冲击力小得多，可以忽略不计.

2.微粒流问题

例4太空飞船在宇宙飞行时，和其它天体的万有引力可以忽略，但是，飞船会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用.设单位体积的太空均匀分布垃圾n颗，每颗的平均质量为m，垃圾的运行速度可以忽略.飞船维持恒定的速率v飞行，垂直速度方向的横截面积为S，与太空垃圾的碰撞后，将垃圾完全粘附住.试求飞船引擎所应提供的平均推力F.

解析取一段时间Δt，在这段时间内，飞船要穿过体积ΔV=S・vΔt的空间，遭遇nΔV颗太空垃圾，使它们获得动量ΔP，其动量变化率即是飞船应给予那部分垃圾的推力，也即飞船引擎的推力.

F=

ΔPΔt=ΔM・vΔt=m・nSvΔt・vΔt=nmSv2

点评太空垃圾的分布并不是连续的，对飞船的撞击也不连续，如何正确选取研究对象，是本题的前提.建议充分理解“平均”的含义，这样才能相对模糊地处理垃圾与飞船的作用过程、淡化“作用时间”和所考查的“物理过程、时间”的差异.物理过程需要人为截取，对象是太空垃圾.

3.气体流问题

例5在水平地面上放置一个氧气瓶，设瓶内高压氧气的密度为ρ，瓶口甚小，其横截面积为S.若打开阀门，当喷出氧气的速率为v时，求地面对氧气瓶的静摩擦力大小（在此过程中，瓶内氧气密度的变化忽略不计，且设氧气瓶保持静止状态）.解析选取极短时间Δt内喷出的相应速率为v的一小段氧气柱为研究对象，其微元的质量Δm，受到的冲力为F，由动量定理有：

FΔt=Δmv，而Δm=ρSvΔt代入得

F=ρSv2

根据牛顿第三定律，氧气瓶所受气体的反作用力与气体的冲力大小相等，又因氧气瓶保持静止，由平衡条件得静摩擦力大小为f=F=ρSv2.

点评处理有关流体（如空气、高压燃气等）撞击物体表面产生冲力（或压强）的问题，可以说非动量定理莫属.解决这类问题的关键是选好研究对象，一般情况下选在极短时间Δt到物体表面上的流体为研究对象

例6某种气体分束由质量m0=5.4×10-26kg，速度v=460 m/s

的分子组成，各分子都向同一方向运动，垂直地打在某平面上后又以原速率反向弹回，如分子束中每立方米的体积内有n0=1.5×1020个分子，求被分子束撞击的平面所受到的压强？

解析时间t内碰撞面积S上的分子数：N=（vt・S）n0

容器有6个面，所以每个器壁碰撞的分子数为16N，对于这部分分子，根据动量定理，有：

-Ft=-

16Nm0v-16Nm0v

计算得出：p=FS=13n0m0v2

答：被分子束撞击的平面所受到的压强是13n0m0v2.

点评由于冲击作用过程时间极短，产生变化很大，研究对象还是微观粒子，牛顿运动定律不适用，用动量定理可以不考虑中间细节，只分析整个过程中冲量的总体效果，是解决这类问题的重要方法.

4.电子流问题

例7在彩色电视机的显像管中，从电子枪射出的电子在加速电压U作用下被加速，且形成电流为I的平均电流，若打在荧光屏上的高速电子全部被荧光屏吸收.设电子质量为m，电量为e，进入加速电场之前的初速不计，求：

①t秒内打在荧光屏上的电子数？

②显像管受到电子流的平均冲力多大？

解析①电子流单位时间流过某一截面的电量是一定的，故Q=It，n=Qe=Ite.

对一个电子而言，有12mv2=eU，

所以加速后电子的速率为

v=2eUm.

②以体积元ΔV 中的 n 个电子为研究对象，电子与荧光屏作用前的速度为 v，作用后电子被吸收表明其动量为零，由动量定理得

F・Δt=n・Δp=n（p-0）

=nmv=Ite・m2eUm.

故显像管受到的平均冲力为F=I2eUme.

例8已知火箭发动机产生的推力F等于火箭在单位r间内喷出的推进剂的质量J与推进剂速度v的乘积.即F=Jv.质子火箭发动机喷出的推进剂是质子，这种发动机通常用于外层空间中产生小的推力来纠正卫星的轨道或姿态.设质子发动机喷出质子流的电流I=1 A，用于加速质子的电压U=5×104V.试求该发动机的推力F.（已知质子的质量是1.6×10-27kg，电量为1.6×10-19C）

解设单位体积内的质子（电荷）数为n

质子流的横截面为S

每个质子的质量为m0

则质子电流强度I=nevS0

单位时间内喷出的质子总质量J=nvSm0

电场对质子做的功为：W=eU

且由题意可知W=12m0v2-0 v=2eUm0

故F=nvSm0v=nSm0v2=nS×2eU

IJ=em0， J=Im0e

即：F=Jv=Im0e2eUm0=Ie2eUm01=I2Um0e

点评无论是电子流、质子流还是光子流，都可以把这些等效成常见的水流模型，使形异质同的问题归为一类应用动量定理去处理.

例9[2016年全国（新课标卷Ⅰ）]理科综合题35：某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中.为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板（面积略大于S）；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开.忽略空气阻力.已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g，求：

（。┡缛单位时间内喷出的水的质量；

（）玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度.

解析（。┰谝欢魏芏痰摩t

时间内，可以认为喷泉喷出的水柱保持速度v0不变.

该时间内，喷出水柱高度：Δl=v0・Δt①喷出水柱质量：Δm=ρ・ΔV②

其中ΔV为水柱体积，满足：ΔV=Δl・S③

由①②③可得：

喷泉单位时间内喷出的水的质量为

ΔmΔt=ρ・v0・S

（）设玩具底面相对于喷口的高度为h

如图3所示，由玩具受力平衡得：图3

F冲=Mg④

其中，F冲为玩具底部水体对其的作用力.

由牛顿第三定律：

F压=F冲⑤

其中，F压为玩具对其底部下面水体的作用力

v′为水体到达玩具底部时的速度

由运动学公式：

v′2-v20=-2gh⑥

在很短Δt时间内，冲击玩具水柱的质量为Δm

Δm=ρ・v0・S・Δt⑦

由题意可知，在竖直方向上，对该部分水柱有

动量定理（F压+Δmg）・Δt=Δm・v′⑧

由于Δt很小，Δmg也很小，可以忽略

⑧式变为

F压・Δt=Δm・v′⑨

由④⑤⑥⑦⑨可得

h=v202g-M2g2ρ2v20S2

点评动量定理，流体受力分析，微元法.情景比较新颖，考查了学生综合分析能力.也提醒我们在备考过程中不能有押题的想法，对知识、方法一定全面复习.两三年前考纲的变化可能在某一年的高考中的体现出来.

动量定理，应用面广，题型多变，容易出现综合应用的题中，在物理备考中，把实际情景问题构成物理模型，他需要我们去伪存真，揭示本质，做到多题归一.解题的关键是构建柱体微元模型应用动量定理分析求解，则曲径通幽，“柳暗花明又一村”.

（收稿日期：2016-09-16）