高考中二项式定理常见题型解析

二项式定理揭示了二项式的幂展开式在项数、系数、各项中的指数等方面的关系,二项式定理的应用及二项式系数的性质是高考的必考内容,考查题型主要是选择题和填空题.本文以近年的高考题为例,对其常见的考查题型进行分类与解析.

类型1:(a+b)n(n∈N*)型

例1(2009全国II 13):(xy-yx)4的展开式中x3y3的系数为.

解析:(xy-yx)4=[xy(x-y)]4=x2y2(x-y)4,欲求x3y3的系数,只需求(x-y)4展开式中的含xy项的系数.

由通项公式得Tr+1=Cr4(x12)4-r(-1)r•yr2=Cr4x2-12r•yr2.令2-r2=r2=1,解得r=2.所以,(xy-yx)4的展开式中x3y3的系数为C24=6.

规律总结:求二项式(a+b)n(n∈N*)的展开式中某一项或某一项的系数问题,一般是先写出它的通项公式,再由待定系数法确定r的值.

类型2:(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)型

例2 (2008江西 8):(1+3x)6(1+14x)10展开式中的常数项为

A.1B.46C.4245D.4246

解析:(1+3x)6的展开式的通项公式为Tr+1=Cr6xr3,(1+14x)10的展开式的通项公式为Tk+1=Ck10x-k4.由r3+(-k4)=0,即4r-3k12=0解得

r=3,k=4.

或r=6,k=8.

所以(1+3x)6(1+14x)10展开式中的常数项为1+C36C410+C66C810=4246.

规律总结:对于(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)类型的问题,一般要先分别展开两个二项式,再由多项式乘法法则求得所求的系数(或项).

类型3:(a+b+c)n(n∈N*)型

例3 (1992年全国):(x2+3x+2)5的展开式中的x的系数为

A.160B.240 C.360D.800

解析:解决本题可以考虑以下三种方法:

方法1:(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5,含x的项的系数为C55•24•C45+C45•25•C55=240.

方法2:(x2+3x+2)5=[x2+(3x+2)]5=C05(x2)5+C15(x2)4(3x+2)+…+C55(x2)0(3x+2)5.而含x的项只有在C55(3x+2)5的展开式中有,T5=C55•C45•(3x)•24=240x.

方法3:(x2+3x+2)5是5个三项式(x3+3x+2)相乘,从其中一个取3x,从另外4个三项式中取常数项相乘,即含x项的系数为C15×3×C44×24=240.

规律总结:方法1、方法2是利用转化思想,把三项式化为二项式来解决.方法3是利用二项式定理推导思想,即用组合思想确定多个因式相乘产生的某一项,这种方法可以直接解决求展开式中某一项的问题.

类型4:(a+b)+(a+b)2+(a+b)3+…+(a+b)n(n∈N*)型

例4 (2005年浙江5):在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是

A.74 B.121 C.-74 D.-121

解析:本题可以用组合知识确定含x3的项的系数,也可以从等比数列求和的思想探求含x3的项的系数.

方法1:各展开式中,x3项的系数分别为-C35,-C36,-C37,-C38,含x3的项的系数为:-C35-C36-C37-C38=-121.

方法2:当x≠0时,由等比数列求和公式得:

(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8=(1-x)5[1-(1-x)4]1-(1-x)=(1-x)5x-(1-x)9x.在(1-x)5x中含x3项的系数即为(1-x)5中含x4项的系数C45•(-1)4=5;在-(1-x)9x中含x3项的系数即为-(1-x)9中含x4项的系数-C49•(-1)4=-126.

所以,含x3项的系数为5-126=-121.

规律总结:方法1是先求出各展开式中含x3项的系数再相加即可.方法2从整体出发,把原式看做首项为(1-x)5,公比为(1-x)的等比数列的前五项的和,通过求和公式减少项数简化了运算过程.

类型5:逆用二项式定理型

例5 (2005天津 11):设n∈N*,则C1n+C2n6+C3n62+…+Cnn6n-1=.

解析: C1n+C2n6+C3n62+…+Cnn6n-1=-16C0n+16(C0n+C1n6+C2n62+C3n63+…+Cnn6n)=-16C0n+16(1+6)n=16(7n-1).

规律总结:准确把握当前的运算式与公式展开式的差别,通过简单变形构造出公式展开式后套用公式,是逆用公式的关键.所以只有熟练掌握公式展开后的特征,才有可能逆用公式解题.事实上,不仅二项式定理如此,数学中所有的公式都是如此.