一个数列极限的几种求法及其应用

摘 要： 本文给出了一个数列极限的几种求法及其在求其他数列极限和级数求和中的应用.

关键词： 数列极限 单调有界 级数 递推数列

命题：设b＞a＞0，d＞0，且X=，

证明：X=0.

本文给出该命题的四种证法，之后给出该命题的应用.

一、四种证法

证法1：容易看出=＜1，即数列{X}单调递减，而X＞0，

显然，由单调有界定理知：X=X存在.

由施图兹定理，有X==［n-（n-1）］= ［n］=x=x，

即x=x.

由b＞a知x=0.

证法2：由证法1知X=X存在且x≥0.若x≠0，则

在b＞a＞0，d＞0的条件下，可知

＜，k=n+1，n+2，…，2n-1，

=＜（）=（1+）ee（n∞）

由b＞a知e＜1，这与=1矛盾，故x=0.

证法3：设y＞x＞0，记u=y-x.由伯努利不等式

（1+x）≥1+αx，α≥0，x＞-1.

如果γ和δ都是大于1的整数，则

（）≥1+γ，()≤1+.

由此可得（1+）≤≤（1+），

或()≤≤().

取γ与δ，使γu＞d与＜d成立，此时有

（）＜（）≤≤（）＜（），

因此有

（）＜＜（）.

这个不等式对于大于三个数（），，1中最大者的一切实数γ，δ都成立.

在上式中，依次取：

x=a，a+d，a+2d，…，a+nd;y=b，b+d，b+2d，…，b+nd，则可得到一系列不等式：

（）＜＜（）

（）＜＜（）

…

（）＜＜（），m=n+1.

将上述一列不等式相乘可得：（）＜x＜（），m=n+1.

由于（）=（）=0，因此x=0.

证法4：不妨设d=1，记p=，n=1，2，…，显然0＜p＜1.

由题意知，证明无穷乘积p收敛于零即可.因为部分乘积p是正的，且递减，所以只需证明它的收敛即可，令p=1+α，则

α=p-1=-1=（1+）=（1-+0（））-1

=1-+0（）-1=-+0（）

由此可见，当n适当大时，α定号.

但由收敛，发散知，级数α发散，因此无穷成绩p收敛于零，从而有 x=0.

二、应用实例

例：设x＞2，证明+++…=.

证明：易见

=--

一般有：

=-

所以

+++…+

=-

由命题知==0

所以结论成立.

参考文献：

［1］裴礼文.数学分析中的典型问题与方法［M］.北京：高等教育出版社，1993.

［2］舒阳春.高等数学中的若干问题解析［M］.北京：科学出版社，2005.

［3］陈纪修，於崇华，金路.数学分析（上）［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［4］李文荣.分析中的问题研究［M］.北京：中国工人出版社，2001.

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