利用旋转进行的探究

旋转变换是全等变换的一种，指将某一图形绕某一点（旋转中心）按指定的方向旋转一定的角度得到新图形的变换，旋转后的图形与原图形形状相同、大小相等，只是位置不同，所以旋转变换的问题均可以转化成全等变换加以解决，这就是旋转不变性。

旋转变换是特殊的全等变换，所以它还具有一些特性：如对应线段相等，且其交角恒定，对应点与旋转中心的连线相等，且夹角恒定，均为给定的旋转角等，应用旋转变换的这些性质探究图形的某些关系，比用全等变换探究更方便。

探究：如图1，ABD、AEC都是等边三角形，线段BE和CD之间有怎样的关系？我们有BE=CD，BE与CD相交成60°的角。利用全等变换的知识得出结论，大家都很熟悉。

现利用旋转变换的知识探究，将DAC绕点A旋转60°，AD=AB，∠DAB=60°，线段AD变为AB，点D变为点B，同理，AC变为AE，点C变为点E，由此线段CD变为线段BE。

根据旋转变换的性质，立即得到CD=BE，且CD与BE的交角为60°。

简单地说，DAC绕点A旋转了60°变成BAE，与此同时CD旋转60°变成BE，所以CD=BE，CD与BE相交成60°。

由此可见，利用旋转知识探究比利用全等知识探究简单巧妙，所以，我们可以利用旋转进行某些结论的探究，打开思路，提高思维水平。

常见的情况有：

一、图中具有旋转关系，可以直接应用旋转的性质加以探究

探究1：如图2，在上述探究中，如果将等边ABD和等边ACE改成以A为顶点的等腰直角三角形，那么CD与BE有什么关系呢？

这里ABE是ADC绕点A按逆时针方向旋转90°而成的，这样线段CD旋转90°角变成线段BE，从而探究出CD=BE，CDBE。

若ABC变成线段时，我们有这样的问题。

探究2：如图3，在线段BC上任取一点A，ABD与ACE均为等边三角形，那么，BE和CD有什么关系呢？

BE=CD，BE与CD相交成60°的角，探究方法同引例，若AD与BE交于点M，CD与AE交于点N，还可以探究出AMN为等边三角形。

探究3：如图4，AB=AD，ADBC，C为BA延长线上一点，直线CE交AD于E，且AC=AE，连接CD、BE，则BE与CD有何关系？试证明你的结论。

BE=CD，BECD。

这是一道常见的几何题，用旋转的方法来探究更简洁明了。

探究4：已知，如图5，E为等边ABC边AC上一点，∠1=∠2，CD=BE，试判定ADE的形状。

ADE为等边三角形。

由题可知，ACD是ABE绕点A旋转60°的角而成的，这样就有AE=AD，∠CAD=60°，因而ADE为等边三角形。

探究5：如图6，已知，E为线段AD上一点、ABC和BDE均为等边三角形，线段之间有什么关系呢？

BD+CD=AD

在本题中，BCD可以看成是BAE绕点B旋转60°的角而成的，这样，AE=CD，AE与CD相交成60°的角，因而有BD+CD=DE+AE=AD，同时可以探究出DA平分∠BDC的结论 。

二、具有旋转不变性的图形可以尝试用旋转变换来探究

探究6：如图7，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且AF平分∠EAD，这里能探究到线段之间有什么关系呢？

由于正方形本身具有旋转不变性，因而可以尝试将ABE或ADF绕点A旋转90°，这样BE和DF便“组合”在一起，不妨将ADF绕按顺时针方向旋转90°得到ABG，有BG=DF，从而将BE+BG转化为GE，通过探索，知EG=EA，从而探索出BE+DF=AE这样的结论。

利用旋转构造三角形全等，是我们探索时经常采用的方法。

探究7：如图8，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°，这里，线段之间、角之间有什么关系呢？

利用正方形的旋转不变性，通过将ADF绕点A旋转90°到ABG的位置，便会有AGE≌AFE，GE=EF，从而探究出EF=BE+DF，AE平分∠BEF的结论。

探究8：如图9 在上述探究中，作AHEF，垂足为H，我们还可以探究出什么结论呢？

探究方法同上，我们有AH=AB=AD，AE平分∠BAH、AF平分∠DAH，FA平分∠EFD等。

探究9：如图10，在正方形ABCD中，E是BC的中点，而CF=2FD，试探求∠EAF的度数。

利用旋转的方法，我们会探究到，∠EAF=45°，从这里我们可以看到，将探究得到的结论和条件互换，亦可以进行探究，探究方法相同。

将本题推广到一般情况：

在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，如果有EF=DF+BE，能否探求到∠EAF=45°呢？回答是肯定的。

三、图中有平移、旋转等组合变换，亦可以用旋转的知识来探究

探究10：如图11 ，在等边ABC中，AD=BE，AD与BE相交于点P，试探求∠APE的度数。

将ABD平移、旋转后可以变换为BCE，根据旋转的性质，∠APE=60°，当然，利用全等也很容易得出结论。

利用旋转变换进行有关图形的探究，不仅可以让我们更深刻地理解图形之间的联系，也促使我们不断更新教学理念，便于学生掌握科学的学习方法，培养他们的学习兴趣，提高他们的思维品质，从而实现有效的教与学。