时间：2022-09-09 01:51:23
摘 要：笔者在一次测验中发现，学生对于一道经典题的解答错误率极高。笔者对学生的错误情况和原因进行了分析并反思自己的教学，从而产生了一些思考。
关键词：数学教学； 几何题
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2014）06-011-002
题目：已知正方形ABCD，E是BC上一点，F是CD上一点，且∠EAF=45°，求证EF=BE+DF
一、错误分析
1.基本思路未形成
结论是一个不对称式，解决的思路是化成对称式。方法有两种，①是将等式左边的EF分成两段分别证与等式右侧两段分别相等。②是将等式右侧的两条线段合成一条线段与等式左侧相等。解答中，学生选择①，在EF上取点G，使EG=BE。然后认为一定能够能证明，麻醉自己，得证。
2.基本思维不能突破
从心理学角度讲在原有图形上添设辅助线条件容易想到，拓展在图形外添设辅助线这一点很难突破，这也是学生为什么只是作AQLEF或EG=BE连AG的重要原因，基本思维学生有待突破。
二、教学反思
上述出现的问题，对教师提出了一定的要求。笔者在让学生突破上述两个问题时，除了加强对证明的思路的培养外，更要加强学生解决问题途径的拓展及思路的引导。如何添设辅助线在此类问题中感觉到尤为的重要。下面通过一些例题，谈谈如何利用旋转变换作辅助线解决此类问题。
通过添设适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使它们相对集中、聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论。旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分，绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法。旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转变换经常用在等腰三角形、等边三角形及正方形中。
1.用旋转变换添设辅助线在等腰三角形中应用
例1：已知，如图2，在ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上任一点。
求证：2AD2=BD2+CD2
分析：由于求证的结论中出现的三条线段不集中，如图3，可以把ABD绕点A逆时针旋转90°得ACE，从而使三条相对应的线段都出现在DEC中，从而得证。当然还可以把ADC绕点A顺时针旋转90°也可。
2.用旋转变换添设辅助线在等边三角形中应用
例2：已知如图4，P是等边ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5。 求∠APB的度数。
分析：PA，PB，PC三边为3，4，5，是一组勾股数，但不组成直角三角形。因此我们设法用旋转组成直角三角形。如图5，把APB绕A点旋转60°到AGC，则∠APB=∠AGC，连结PG，可证PGC三边为3，4，5，得直角三角形，∠APB=∠AGC=150°可求。
例3：已知，如图6，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，AD= BC，对角线AC、BD相交于O，∠AOB=60°，且E、F、M分别为OD、OA、BC的中点，求证：MEF是等边三角形
分析：题中要证MEF是等边三角形，例2中的图形辅助线可以给我们启发，如图7构造类似的图形，通过找DB，OB的中点Q，N，连接FN，MN，MQ。通过证明能得MNQ为等边三角形，FNM≌EQM，从而得到MEF是等边三角形。这道题的方法比较多，这是其中利用旋转理念解决问题的一种方法。
3.用旋转变换添设辅助线在正方形中应用
篇首题目就是一个经典的例子，如图8分析：将RtADF绕点A旋转90°使F旋转至G，证明AGE≌AFE，即证EF=GB+BE=BE+DF
例3：如图9，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于F。
求证：BE=CF+AE
分析：结论中的线段比较分散，如图10，可以通过把BCF绕B点旋转90度到BAF’，再通过证明∠F’=∠EBF’得F’E=EB，从而得证。
以上问题均是利用旋转使问题得到解决。旋转是指在原题的基础上把原题的一部分或几部分绕某一顶点旋转图形，旋转的图形、角度、顶点都是由原图特征确立的。一般的来说，旋转主要是使一些有相近特征的图形并在一起，以便作共同特征的利用。通常旋转针对一些有相等条件（严格的可供旋转）的图形的辅助线的添设。
三、提炼思想
思想方法是以知识为载体，在运用知识解决问题的过程中积累而形成的，它的价值不亚于知识本身。利用旋转来添设辅助线是一个非常重要的思想方法，就是转化的思想。就辅助线的添设而言，为什么要进行这样的添设，其实他是有一个内驱力的，这个内驱力就是数学思想方法转化的思想方法，对于学习其他知识也是非常有帮助、有借鉴之处的。
变幻无常的几何题，是许多学生头疼的问题。不是因为几何题本身，而是由于它需要变幻无常的辅助线。辅助线，犹如一个虚设的桥梁，只要你正确的“搭出”，一切问题便可迎刃而解。由此说来，辅助线至关重要。而“搭”辅助线，却是几何学又一难点。笔者刚才就利用图形的旋转来添设辅助线做了一些探究，只是一次抛砖引玉。和同行们一起探索如何指导学生添设好辅助线，从而为学生学好几何打下一个很好的基础。