圆锥曲线的复习教学案例

【摘要】圆锥曲线这章的知识较为抽象，比较难理解。如果离开感性认识，则容易使学生陷入困境，降低学习热情。在教学时，我积极引导学生利用数形结合思想解题，增强解题的直观性，强调学生“...

一、教学内容分析

本节选自《普通高中课程标准实验教科书（选修1-1）数学》（人教版）高二下，第二章圆锥曲线与方程的复习课。圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性，也是有关圆锥曲线问题的精髓。如果能很好地利用定义解题，那么很多时候能以简驭繁。因此，我们在把新课学完后有必要再回到定义上，熟练掌握“利用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题方法。

二、学生学习情况分析

这届高二学生在高一时就是学习的新课程，因此他们对新课程并不陌生。与以往的学生相比，这届学生的特点是：参与课堂教学活动的积极性更高，思维敏捷，敢于在课堂上发表与众不同的见解，计算能力比以前有所减弱，字母推理能力更强些，使用数学语言的表达能力也略比以前强。

三、设计思想

圆锥曲线这章的知识较为抽象，比较难理解。如果离开感性认识，则容易使学生陷入困境，降低学习热情。在教学时，我积极引导学生利用数形结合思想解题，增强解题的直观性，强调学生“探究”的发挥。借助多媒体，引导学生主动发现问题、解决问题，主动参与教学，在轻松愉快的环境中发现、获取、探究新知，提高教学效率。

四、教学目标

（一）深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。

（二）通过练习题，加深对圆锥曲线定义的理解，培养学生的思维能力、解决问题能力；通过对问题的不断引申，精心设问，让学生掌握解题的一般思路和方法。

（三）借助多媒体辅助教学，激发学习数学的兴趣。在民主、开放的课堂氛围中，培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神。

五、教学重点与难点

（一）教学重点：

1.加深对圆锥曲线定义的理解；2.运用圆锥曲线的定义求“最值”问题；3.运用“定义法”求动点轨迹方程。

（二）教学难点：巧用圆锥曲线定义解题。

六、教学过程设计

（一）设计思路：由于这是一堂复习课，加上我所任教的班级是文科班里的本科班（学校称之为尖子班），学生有较好的数学基础，学习积极性较高，领悟能力较好，因此在教学中，我拟采用师生共同参与的教学方法：由教师提出问题，激发学生积极思考，引导他们运用已有知识经验，以小组合作形式通过探究获取新知识。通过个别回答、集体修正的方法让我及时得到反馈信息。最后，我根据学生回答问题的情况进行小结，概括出问题的解决方法，给出正确答案，并指出学生解题方法的优缺点。

1.先提出问题

先给出以下几个问题：

例1：（1）已知A（-4，0）、B（4，0），动点M满足|MA|+|MB|=6，则点M的轨迹是（ ）。A.线段 B.椭圆 C.双曲线 D.不存在

（2）已知动点M（x，y）满足=|6x+8y|，则点M的轨迹是（ ）。

A.两条相交直线 B.双曲线 C.抛物线 D.椭圆

设计意图：定义是揭示概念内涵的逻辑方法，熟悉不同概念的不同定义方式，是学习和研究数学的一个必备条件，通过一个阶段的学习之后，学生对圆锥曲线的定义已有了一定的认识，他们能否真正掌握它们的本质，是本节课首先要解决的问题。为了加深学生对圆锥曲线定义的理解，我以圆锥曲线的定义的运用为主线，精心准备了两道练习题。

学情预设：估计学生能很快回答出题（1），但是学生对圆锥曲线的定义可能并未真正理解，因此我再补充：若想答案是其他选项的话，条件要怎么改？学生差不多都能解决。问题（2）就可能让学生费一番周折了。此外我还对问题进行引申，以此深化对概念的理解。

2.理解定义、解决问题

例2：（1）已知动圆A过定圆B：x+y+6x-7=0的圆心，且与定圆C：x+y-6x-91=0相内切，求ABC面积的最大值。

（2）在（1）的条件下，给定点P（-2，2），求|PA|+|AB|的最小值。

（3）在（2）的条件下求|PA|+|AB|的最小值。

设计意图：运用圆锥曲线定义中的数量关系进行转化，使问题化归为几何中求最大（小）值的模式，这是解析几何问题中的一种常见题型，也是学生比较容易混淆的一类问题。例2的设置就是为了方便学生辨析。

学情预设：本题的关键在于能准确写出点A的轨迹，有了例1的铺垫，对例2（1）、（2），多数学生应该能准确给出解答，但例2（3）是少见的问题，学生估计解不出来。这时借助于实物投影仪，会有学生发现当P、A、B三点共线时，取得最小值。那么，我再鼓励学生进行大胆猜想，让学生寻找到点B所在的正确位置后，叫学生演练出正确的解题过程，并借助实物投影加以演示。最后由学生进行归纳小结：在椭圆中，当定点A不在椭圆内部时，则A，F的连线与椭圆的交点M就是使|BA|+|BF|最小的点；当定点A在椭圆内部时，则A与另一焦点F的连线的延长线与椭圆的交点B即为所求。

3.再进行自主探究、深化认识

练习：设点Q是圆C：（x+3）+y=36上动点，点A（2，0）是圆内一点，AQ的垂直平分线与CQ交于点M，求点M的轨迹方程。（若将点A移到圆外，点M的轨迹会是什么？）

（二）知识链接：圆锥曲线定义的应用举例练习（第一定义和统一定义）。

1.双曲线-=1的两焦点为F、F，P为曲线上一点，若P到左焦点F的距离为12，求P到右准线的距离。

2.在抛物线y=2px上有一点A（4，m），A点到抛物线的焦点F的距离为5，求抛物线的方程和点A的坐标。

3.已知A（4，0），B（2，2）是椭圆-=1内的点，M是椭圆上的动点，求|MA|+|MB|的最小值与最大值。

七、教学反思

本课将借助于PowerPoint课件，利用两个例题及其引申，通过一题多变、层层深入的探索，培养学生思维的深刻性、创造性、科学性和批判性，使学生从学会一个问题的求解到掌握一类问题的解决方法，领略数学的统一美。另外，多媒体的使用让抽象的数学问题变得形象、生动且通俗易懂，同时节省了时间给学生思考问题和发现问题。这正吻合了以学生为主体的探究—合作式教学新理念。

（一）“满堂灌”、“满堂问”的教学方式已为越来越多的教师所摒弃，我期望在教学中能多尝试使用“探究—合作”式教学模式进行教学，使学生的“知识的获得过程”不再是简单的“师传生受”，而是让学生依据自己已有的知识和经验主动加以建构。并在这个建构过程中，教师是引导者，学生才是主体、是知识的主动建构者。因此所设计的问题应该定位在学生认知的最近发展区。

（二）在有限的时间内突出重点，突破难点，给学生留有自主学习的空间和时间。我把“定义法求轨迹问题”分置于例2（1）与练习中，循序渐进地让学生把握这类问题的解法；将学生容易混淆的两类求“最值问题”并为一道题，方便学生进行比较、分析。

（三）现代教育技术的发展为我们提供了良好的教学条件，然而，教师所编导的教学活动应该随着整体环境的变化、学生群体的变化而变化。

参考文献：

[1]选修1-1.数学人教版A版.