类比思想在数学教学中的渗透

摘 要： 本文主要阐述了类比思想在教学中的渗透。

关键词： 数学教学 类比 类比思想

荷兰著名数学教育家赖登塔尔强调：“学习数学唯一的方法是实行‘再创造’，也就是由学生本人把要学习的东西自己去发现或创造出来。”《数学课程标准》提倡在教师引导下，让学生经历“数学化”“再创造”的活动过程，让学生体验数学发现和创造的历程，培养他们的创新意识。苏教版2―2中专辟类比推理这部分内容。类比是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也相似或相同。其形式为A类事物有性质a，b，c，d，B类事物有性质a′，b′，c′，所以B类事物有性质d′。类比的结论是或然的，它的正确性需经过证明。在平时的数学教学中，笔者经常渗透类比思想，现归纳出以下常见的类比。

一、方法类比

典型的数学方法可以解决一类问题，因此，教师应随时总结，举一反三，以提高学生数学知识的迁移能力和灵活应用能力。

例1：设f（x）=，利用课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法，可求得f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为 。

分析：本题类比课本中等差数列的求和方法，即“倒序相加法”。

解：令S=f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）①

则S=f（6）+f（5）+…+f（0）+…+f（-4）+f（-5）②

将①、②式相加，类似与等差数列的情形，利用f（n）+f（1-n）=，得2S=•12，所以S=3为所求值。

二、性质类比

类比转化，是一种培养知识迁移能力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相似性，巧妙进行类比转换，答案就会应运而生。

例2：在等差数列{a}中，若a=0，则有等式a+a+…+a=a+a+…+a（a＜19，n∈N）成立，类比上述性质，在等比数列{b}中，b=1，则有等式成立。

分析：等差数列{a}中，a=0，必有a+a=a+a=…=a+a=2a=0，

a+a+…+a+a+…+a=0。

故有a+a+…+a+a+…+a=a+a+…+a类比等比数列{b}，

b=1

b•b=b•b=…=b•b=b=1，

b•b…b•b…b=1，故等式bb…b=bb…bb…b成立。

三、结构类比

有些数学题目是由某些已知的公式发展变化而来，这些习题的形式与学过的公式结构相同，通过类比，可探求解题途径的有效手段。

例3：已知：x+y+z=xyz求证：++=••。

分析：由已知条件结构类比联想到命题：若α+β+γ=kπ（k∈Z）则tanα+tanβ+tanγ=tanα•tanβ•tanγ，而求证中出现的形式类比联想到二倍角公式。

证明：设x=tanα，y=tanβ，z=tanγ，且α+β+γ=kπ（k∈Z），

++

=++

=tan2α+tan2β+tan2γ

α+β+γ=kπ（k∈Z）

2α+2β+2γ=2kπ（k∈Z）

tan2α+tan2β+tan2γ=tan2αtan2βtan2γ

即证：++=••。

四、维度类比

尽管二维平面与思维空间有诸多不同，但我们充分利用它们相似性，通过升降维，即可解决相关问题。

例4：如图1，若射线OM，ON上分别存在点M，M与点N，N，则=•。如图2，若不在同一平面内的射线OP，OQ和OR上分别存在点P，P，点Q，Q和点R，R，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？

分析：试题要求把二维面积关系推广到三维体积关系。

类似的结论为：=••。

证明：如图2，过若R作RM平面POQ于M，连接OM，过R在平面ORM作RM∥RM交OM于M，则RM平面POQ。

由V=S•RM=••OP•OQ•sin∠POQ•RM=OP•OQ•RM•sin∠POQ，

同理，V=OP•OQ•RM•sin∠POQ，

所以=，由平面几何知识得=，

所以=••结论正确。

本题把立体几何问题类比到平面几何中解决，正像数学家波利亚曾指出的：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的问题。”

总之，我们在平时的教学中渗透类比思想，不仅能使学生获取新知识，而且能激发学生的学习数学的兴趣，让学生体验数学的发现和创造过程，提高学生的数学思维能力。

参考文献：

［1］普通高中数学课程标准（实验）.人民教育出版社.第3页.

［2］俞素珍.高考中的数学类比思想.中学数学月刊，2007.

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