对一道高考改编题的深度解析

题目（2010年安徽理综卷第20题）如图1所示，水平地面上方矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，两个边长相等的单线闭合正方形线Ⅰ和Ⅱ，分别用相同材料、不同粗细的导线绕制（Ⅰ为细导线）.两线圈在距磁场上界面h高处由静止开始自由下落，再进入磁场，最后落到地面.运动过程中，线圈平面始终保持在竖直平面内且下边缘平行于磁场上边界.设线圈Ⅰ、Ⅱ落地时的速度大小分别为v1、v2在磁场中运动时产生的热量分别为Q1、Q2，不计空气阻力则

A.v1

C.v1Q2D.v1=v2，Q1

此题模型清晰，既可以定量计算（计算两线框的瞬时加速度并进行比较，发现瞬时加速度a与材料的粗细无关），又可以定性分析（把较粗的线框看作几个较细的线框捆绑在一起）答案唯一，对能力要求稍高，有很强的区分度，作为选择题压轴题是很适合的.基于此题的改编题很多，笔者选择了一题和大家探讨.

改编题甲、乙是两个完全相同的闭合正方形导线框，a、b是边界范围、磁感应强度大小和方向都相同的两个匀强磁场区域，只是a区域到地面的高度比b高一些（图2）.甲、乙线框分别从磁场区域的正上方相同高度处同时由静止释放，穿过磁场后落到地面，下落过程中线框平面始终保持与磁场方向垂直，以下说法正确的是

A.落地时甲框的速度比乙框小

B.落地时甲框的速度比乙框大

C.落地时甲、乙两框的速度相同

D.穿过磁场的过程中甲、乙线框中产生的热量相同

编者提供的解析由图可知乙线框进入磁场时的速度比甲线框进入磁场的速度大，分析可知安培力对乙做功一部分转化为导线框的动能，一部分转化为导线框穿过磁场产生的热量，根据动能定理可知，甲落地速度比乙落地速度大，故B选项正确.本题难度中等.

笔者认为，上面的解析不严谨，根本无法得出B选项的结论.其原因在于编者只讨论了线框进入磁场的过程，甲线框产生的热量少，而出磁场的过程完全没有考虑，就片面的得出了结论.显然该题需要全面讨论线框进、出磁场的速度，判断全过程产生的热量关系，才能判定那个线框落地速度大.

先来研究线框进入磁场的过程.线框甲、乙进入磁场的过程都受到安培力作用，而乙线框进入磁场时的速度比甲大，那么乙线框产生的热量是否就一定比甲多呢？下面分情况讨论.

.如果甲线框进入磁场时恰好做匀速运动（图3），那么乙线框进入磁场时必定先做减速运动，而后可能匀速运动（图4）也可能一直减速运动（图5），直到完全进入磁场区域.无论乙的运动规律如何，我们很容易判断，乙线框在进入磁场的过程中的瞬时速度不小于甲线框的瞬时速度，由此可以判断乙线框产生的热量多.

.如果甲线框进入磁场过程一直作减速运动（图6），那么乙线框进入磁场过程必定也是一直作减速运动（图7），证明过程如下：

设甲线框进入磁场时的瞬时速度为v，线框的边长为L，磁感应强度为B，线框的总电阻为R，线框受到的安培力为F，质量为m，瞬时加速度为a，

则F=B2L2vR，

由牛顿第二定律知F-mg=ma，

即a=B2L2vmR-g.

可以确定甲线框做加速度减小的变减速运动，其v-t图象大致如图6.

乙线框进入磁场时的瞬时速度为v′（v′>v），同理可得乙线框的加速度

a′=B2L2v′mR-g，

其v-t图象如图7.

从数学表达式上看，乙线框进入磁场的瞬时加速度比甲线框大，而甲、乙两线框在进入磁场区域的过程中，其加速度与速度的函数关系完全一样，区别只是速度的取值范围不同.那么，甲线框的v-t图象与乙线框的v-t图象变化趋势是一样的，确切的说，甲线框的v-t图象是乙线框v-t图象的一部分（类似于将乙线框的v-t图象纵坐标往右平移些），上面的对比图可以清楚的反应该关系，两图象只是计时基准不一样而已.图线与两坐标轴包围的阴影部分面积表示线框的高度，而甲、乙线框完全一样，故上图中阴影部分面积一样大，既然甲线框全过程都是减速运动，那么乙线框全过程必定也是减速运动，不可能出现先减速后匀速的情况.

从图象上也很容易判断，乙线框进入磁场区域的过程，速度的减少量更大些，由功能关系知

Q=mgL+ΔEk.

综合上面的分析可知乙线框进入磁场区域的过程产生的热量更多.

.如果甲线框进入磁场过程一直作加速运动，那么乙线框进入磁场过程必定也是一直作加速运动.证明过程与类似，也可以得出相同的结论，即乙线框产生的热量多.

.其他情况如甲线框进入的过程先加速后匀速或先减速后匀速等，都可以用图象法得到相同的结论.

整个线框完全在磁场区域运动时不产生热量.

线框出磁场区域时产生热量，具体情况也要分类讨论.

设甲线框刚要出磁场时速度为v1，乙线框刚要出磁场时的速度为v2（如图8所示的时刻），则：

.如果v1=v2，则甲、乙线框以相同的规律出磁场区域，产生的热量相同，显然最终乙线框落地速度小.

.如果v1

.如果v1>v2，则甲线框产生的热量多，这种情况相对复杂，从热量多少上不好判断落地速度关系.下面我们直接分析速度随时间的变化关系.

以甲、乙线框全程均做减速运动研究（其他情况类似），借助上面的分析结论可知，此时乙的v-t图象是甲的v-t图象的一部分.甲线框出磁场的初速度比乙线框大些，时间又短些，从速度图象的变化规律可以判定，甲线框速度的变化量大，末速度也大.而甲线框完全出磁场区域时离地面更高些，速度又大些，由此可以判定甲线框落地速度更大.

综上所述，乙线框落地时速度小，B项正确.

通过上面的分析发现，这道看似简单的改编题其实并不简单.此题的核心是甲、乙两线框在运动过程中虽然都是变加速运动，但它们的v-t图象具有相同的变化规律，而这种规律在电磁感应题型中非常常见，笔者在高三教学实践中发现了这一问题，并发表了自己的拙见，不足之处望同行指正.