分数的“具体量”和“相对量”

分数具有两种不同的表征方式：1、分数可以表示量的大小，这时或者是单位分数，或者是分数单位的整数倍；2、分数可以表示　“分率”。“　分率”是以一个量为标准量去度量另一个量所得的结果，它是描述两个量的“比率关系”。无论是作为“数量”的分数还是作为“比率”的分数，其核心都是“分数单位”，“分数”概念就是在不同意义情境下，有着“除”的不变性。

六年级复习出现这样一道习题：“有两根绳子，第一根长3米，第二根比第一根长　米，第二根长（ ）米。”

这是一道很简单的题，但在练习中发现有近半的学生把答案写成了4米。深究其原因，学生多数是把“长　米”读成“长　”了。表面上看，这样的错误似乎是因为学生粗心没有读清单位名称所造成的。但细心思量：为什么学生读题时看不清楚这个“米”字呢？根本的问题在哪？学生理解诸如长“　米”和“　”的区别与联系吗？学生能从分数的本质上理解它们的内涵吗？

如：①　米和一根绳子的　谁长？②有两根同样长的绳子，第一根截去　米，第二根截去全长的　，余下的哪根绳子长？

像这样的问题，答案都是不唯一的。　米是以1米为整体的，它的长度是具体的、确定的；而一根绳子的　，是把绳子的全长看做一个整体，　是针对这根绳子而言的，绳子的全长是不确定的量，全长的　是随全长的改变而改变的，所以这个“　”是相对的。产生这种不确定的最根本原因就是“　米”和“　”之间的差异。如果学生对“分数”的“具体的量”和“相对的量”有了深刻的认识，自然就会意识到这个单位名称不是可有可无的了。

以上仅仅是对“分数”的两种表征方式作了简单的诠注。斟酌再三，如果要让学生对“分数”有深度的理解，在练习中可以把题目改成：

一根绳子，截成两段，第一段长　米，第二段占全长的　，哪一段长一些？

①第一段长 ②第二段长 ③两段同样长 ④无法比较

题目的第一个条件“第一段长　米”在这里其实是一个干扰条件，分析题意，这道题不是平均分，很定有一段长一段短，由此可排除“③两段同样长”和“④无法比较”这两个选择。再通过建模（画线段图），第二段占全长的　，很明显第一段就是占全长的　。（4个　＞3个　）所以选择“①第一段长”。