时间：2022-08-10 02:28:12
数形结合的思想就是将数（量）与形（图）结合起来解决问题的一种方法. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.” 可见数形结合的重要性，如何用图形来展示代数式的几何意义，体现数形结合的思想呢？下面列举几例，供大家参考.
一、验证平方差公式
例1从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图1-1），然后拼成一个平行四边形（如图1-2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为_________.
解析：从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形，则图1-1阴影部分的面积为22；每个等腰梯形的高为，则每个等腰梯形的面积为×.
两个图形中阴影部分的面积相等，
22 = 4××.
可以验证成立的公式为
22 = （ + ）（）.
例2 如图2，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形（＞），然后将阴影部分拼成一个长方形，分别计算这两个阴影部分的面积，验证的公式是_______.
解析：从边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，则左图面积表示为22.将阴影部分拼成一个长方形，则右图的面积表示为（ + ）（）.因为这两个阴影部分的面积相等，所以22 = （ + ）（）.
即验证的公式为22 = （ + ）（）.
二、验证完全平方公式
例3 如图3，将边长为 + 的正方形割成四个部分：两个边长分别为 和的正方形，两个长为 、宽为的长方形，请你分别计算分割前和分割后的图形的面积，写出一个代数恒等式__________.
解析：利用分割前与分割后的图形面积相等的关系，
可列出（ + ）2 = 2 +++ 2 = 2 + 2 + 2.
代数恒等式为（ + ）2 = 2 + 2 + 2.
三、验证其它代数恒等式
例4阅读材料并解答问题：
我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如（2 + ）（ + ）= 22 + 3 + 2就可以用图4-1或图4-2等图形的面积表示.
（1）请写出图4-3所表示的代数恒等式__________.
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（ + ）（ + 3）= 2 + 4 + 32.
（3）请仿照上述方法另写一个含有、的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形.
解析：（1）仿照例题，结合图4-3可知：（ + 2）（2 + ）= 22 + 5 + 22.
（2）如图4-4，画一个长为+ 3，宽为+的长方形，然后把它分割成1个边长为的正方形，4个长为、宽为的长方形和3个边长为 的小正方形.
（3）按题目要求可写出一个与上述不同的代数恒等式，画出与所写代数恒等式对应的平面几何图形即可（具体过程略）.
例5如图5-1是一个边长为（ + ）的正方形，小颖将图5-1中的阴影部分拼成图5-2的形状，则由图5-1和图5-2能验证的式子是（）.
A.（ + ）2（）2 = 4 B.（ + ）2（2 + 2） = 2
C.（）2 + 2 = 2 + 2 D.（ + ）（） = 22
解析：由题意可知，拼图前后阴影部分的面积保持不变.
一个小直角三角形的斜边长的平方为2 + 2，
小正方形的面积为2 + 2.
又图5-1中大正方形的面积为（ + ）2，
拼图前阴影部分的面积为（ + ）2（2 + 2）.
拼图后形成的菱形（即图5-2）的面积为2，
（ + ）2（2 + 2） = 2.故选B.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”