不等式考点直通车

回顾近几年江苏新课标高考，不等式一直以“解题工具”的形式出现在各种题目中，尤其是一元二次不等式和基本不等式.那么，不等式在高考中涉及哪些考点？让我们一起登上不等式考点直通车去探分明.

考点1不等式的性质

方法小结：利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，要特别注意.错因在于运用同向不等式相加这一性质时，不是等价变形.此类问题的解决方法是：先建立待求整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得待求整体的范围.

解析：若x>0，由f（x）

方法总结：对于这类分段型不等式，可依据x的取值及函数解析式，转化为几个不等式组来解，这些不等式组解集的并集，就是原不等式的解集.这类问题也可作出相关函数的图象，从图中直观看出答案.

巩固练习2已知f（x）是定义在R上的奇函数.当x>0时，f（x）=x2-4x，则不等式f（x）>x的解集用区间表示为.

答案：（-5，0）∪（5，+∞）；解析：作出f（x）=x2-4x（x>0）的图象，如下图所示.由于f（x）是定义在R上的奇函数，利用奇

函数图象关于原点对称做出xx，表示函数y=f（x）的图象在y=x的上方，观察图象易得：解集为（-5，0）∪（5，+∞）.

考点3不等式恒成立问题

例3设函数f（x）=mx2-mx-1.

（1）若对于一切实数x，f（x）

（2）若对于x∈[1，3]，f（x）

方法小结：对于给定区间上的不等式恒成立问题，可根据以下几步求解：第一步，整理不等式（或分离参数）；第二步，构造函数g（x）；第三步，求函数g（x）在给定区间上的最大值或最小值；第四步，根据最值构造不等式求参数；第五步，反思回顾，查看关键点，易错点，完善解题步骤.

巩固练习3已知不等式xy≤ax2+2y2，若对任意x∈[1，2]及y∈[2，3]该不等式恒成立，则实数a的取值范围是.

答案：[-1，+∞）；解析：因为x∈[1，2]及y∈[2，3]，使用数形结合可以知道1≤yx≤3，

考点4简单的线性规划

例4已知x，y满足约束条件x2+y2≤4x-y+2≥0y≥0，则目标函数z=2x+y的最大值是.

解析：由z=2x+y，得y=-2x+z.作出不等式对应的区域，平移直线y=-2x+z，由图象可知，当直线y=-2x+z与圆在第一象限相切时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大.

直线与圆的距离d=|z|22+1=2，即z=±25，所以目标函数z=2x+y的最大值是25.

方法小结：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：（1）在平面直角坐标系内作出可行域.（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解.（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.

巩固练习4设实数x，y满足约束条件x-2y≤0，2x-y≥0，x2+y2-2x-2y≤0，，则目标函数z=x+y的最大值为.

答案：4；解析：由z=x+y得y=-x+z.作出不等式对应的区域，平移直线y=-x+z，由图象可知，当直线y=-x+z与圆在第一象限相切时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大.直线与圆的距离d=|1+1-z|2=2，即z=0或z=4，所以目标函数z=x+y的最大值是4.

考点5利用基本不等式求最值

例5（理）定义：min{x，y}为实数x，y中较小的数.已知h=min{a，ba2+4b2}，其中a，b均为正实数，则h的最大值是.

解析：易得h2≤aba2+4b2=1ab+4ba≤12ab・4ba=14，所以h≤12（当且仅当ab=4ba时取等号）；

故h的最大值是12.

（文）已知向量a=（x-1，2），b=（4，y），若ab，则9x+3y的最小值为.

解析：因为ab，所以a・b=4（x-1）+2y=0，即2x+y=2，

所以9x+3y≥29x・3y=232x+y=232=6，所以9x+3y的最小值为6.

方法小结：利用基本不等式求最值时，必须注意三点：“一正，二定，三相等”，缺一不可.如果项是负数，可转化为正数后解决，当和（或积）不是定值时，需要对项进行添加、分拆或变系数，将和（或积）化为定值.

巩固练习5（理）若正数a，b满足a2+b22=1，则a1+b2的最大值为.

答案：342；解析：由a2+b22=12a2+b2=2，又a，b为正数，故

a1+b2=2a2（1+b2）2≤22×2a2+（1+b2）2=342（当且仅当a=32，b=22取等号）；

所以a1+b2的最大值为342.

（文）已知x>0，y>0，若2yx+8xy>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是.

答案：（-4，2）；解析：因为x>0，y>0，所以2yx+8xy≥216=8.

要使原不等式恒成立，只需m2+2m

考点6不等式的实际应用

例6如图，两个工厂A，B相距2km，点O为AB的中点，现要在以O为圆心，2km为半径的圆弧MN上的某一点P处建一幢办公楼，其中MAAB，NBAB.据测算此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比，比例系数是1，办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离BP的平方也成反比，比例系数是4，办公楼受A，B两厂的“总噪音影响度”y是受A，B两厂“噪音影响度”的和，设AP为xkm.

（1）求“总噪音影响度”y关于x的函数关系，并求出该函数的定义域；

（2）当AP为多少时，“总噪音影响度”最小？

答：当AP为303km时，“总噪音影响度”最小.

方法小结：利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解.在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解.

巩固练习6如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设∠PAB=θ，tanθ=t.

（1）用t表示出PQ的长度，并探求CPQ的周长l是否为定值；

（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少（平方百米）？